本文使用原子单位制．
长度规范
归一化的平面波和归一化的氢原子基态为
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = (2\pi)^{-3/2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }
\qquad \left\lvert 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-r}
\end{equation}
长度规范下的跃迁偶极子，可以在极坐标系中积分
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle
= \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{(2\pi)^{3/2}\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \int_0^\pi \mathrm{e} ^{-r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r \cos\theta} r \cos\theta \cdot 2\pi r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r}
\end{equation}
换元，令 $u = \cos\theta$，得
1
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt 2 \pi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \int_0^{+\infty} r^3 \mathrm{e} ^{-r} \int_{-1}^1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r u} u \,\mathrm{d}{u} \cdot \,\mathrm{d}{r} \\
&= \mathrm{i} \frac{\sqrt2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{k\pi} \int_0^{+\infty} r^2 \mathrm{e} ^{-r} \left[ \cos\left(kr\right) - \frac{1}{kr} \sin\left(kr\right) \right] \,\mathrm{d}{r} \\
&= - \mathrm{i} \frac{8 \sqrt2}{\pi} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2+1)^3}
\end{aligned} \end{equation}
未完成：代入未完成
速度规范
注意一阶微扰理论中的初态和末态波函数都是无微扰（无外场）情况下的，与规范无关．要计算 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle $，先看积分
\begin{equation}
\int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \frac{8\pi }{(k^2 + 1)^2}
\end{equation}
使用算符 $ \boldsymbol\nabla $ 的反厄米性得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \boldsymbol\nabla \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r}
= -\int [ \boldsymbol\nabla \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) ]^* \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} \\
&= \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r}
= \mathrm{i} \frac{8 \pi \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2}
\end{aligned}
\end{equation}
乘以归一化系数得
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle = \mathrm{i} \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2}
\end{equation}
该式代入
eq. 9 （$q = -1$）得微分截面为
\begin{equation}
\frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^4}
= \frac{64}{mc} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^5}
\end{equation}
对于质子数为 $Z$ 类氢原子有
\begin{equation}
\frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32 Z^5}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + Z^2)^4}
\end{equation}
两种规范对比
如果 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 是库仑函数（能量本征态）应该有（eq. 2 ）
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}}
\end{equation}
其中 $\omega_{k0} = k^2/2 + 1/2$，但实际上
eq. 3 和
eq. 6 满足
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -2\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}}
\end{equation}
这说明在使用平面波近似库伦函数时，长度规范的 transition amplitude 恰好是速度规范的 2 倍，截面是四倍（待求证）．
教材中推导微分截面一般使用速度规范，因为速度规范的结果与实验吻合更好．
1. ^ 最后一步可通过 Wolfram Alpha 获得