厄米矩阵
厄米共轭
我们把矩阵元可以取复数的矩阵叫做复数矩阵．与矩阵转置（eq. 1 ）类似，要对一个复数矩阵做厄米共轭（Hermitian conjugate），就先将其做转置，再对每个矩阵元取复共轭．矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $，其第 $i$ 行第 $j$ 列的矩阵元为
\begin{equation}
A ^\dagger _{i,j} = A_{j,i}^*
\end{equation}
注意当矩阵元都是实数时，厄米共轭就是转置．$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 也称为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的
伴随矩阵（adjoint matrix）．
厄米共轭的基本性质
任意常数乘以厄米矩阵再取共轭，等于该常数的复共轭乘以矩阵的厄米共轭
\begin{equation}
(c \boldsymbol{\mathbf{A}} ) ^\dagger = c^* \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger
\end{equation}
类比转置，矩阵相乘的厄米共轭等于分别做厄米共轭，逆序排列，再相乘
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \dots \boldsymbol{\mathbf{C}} ) ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{C}} ^\dagger \dots \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger
\end{equation}
厄米矩阵
若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭是其本身，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{A}}
\end{equation}
那么我们称其为
厄米矩阵．厄米矩阵关于对角线对称的任意两个矩阵元互为复共轭
\begin{equation}
A_{i,j} = A_{j,i}^*
\end{equation}
特殊地，对角线上的矩阵元的复共轭等于本身（$A_{i,i} = A_{i,i}^*$），所以厄米矩阵对角线上的矩阵元都是实数．
事实上，厄米矩阵也可以等效定义为满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j
\end{equation}
对任意列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 都成立的矩阵．这可以用
eq. 3 证明．