在 “几何矢量” 中，我们对坐标有了一个简单的认识．本文中，我们将从基底的角度进一步讨论坐标的定义．本文同样只讨论几何矢量，简称矢量．
沿一条直线的所有矢量都是共线的，所以在一条直线上最多不超过一个矢量线性无关，所有这些共线的矢量的集合以及它们的加法和数乘运算组成一个一维矢量空间．注意这里先不需要了解矢量空间的一般定义．一维矢量空间中的任意矢量都可以通过某个固定的矢量乘以某个数得到．同理，一个平面上的所有矢量的集合以及它们的加法和数乘运算，组成一个二维矢量空间，二维矢量空间中最多能找到两个线性无关的矢量，确定它们以后，它们的线性组合可以得到平面上任意其他矢量（例如直角坐标系的两个单位矢量）．一般地，我们把最多只包含 $N$ 个线性无关矢量的矢量空间叫做 $N$ 维的．
我们容易想象出 1 到 3 维的几何矢量空间以及它们的两种运算，但却很难想象更高维的情况，我们只能试着用公式定理以及低维的类比来理解它们1．
$N$ 维空间中的任意一组线性无关的 $N$ 个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _1\dots \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _N$ 可以作为一组基底（basis，复数 bases），记为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}$，简称基．基是有序的，即使是同一组矢量，如果顺序不同，也要视为不同的基．
如果在这组基底中加入该空间中任意一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，这组 $N+1$ 个矢量必定线性相关（否则空间就是 $N+1$ 维的），即存在不全为 0 的实数 $c_1\dots c_{N+1}$ 使下式成立
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{N} c_i \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i + c_{N+1} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
所以我们可以把等式两边除以
2 $c_{N+1}$，将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 用 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i \right\} $ 的线性组合表示．令 $a_i = -c_i/c_{N+1}$，该空间中任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i=1}^N a_i \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i
\end{equation}
这里的 $N$ 个有序实数 $(a_1, \cdots, a_N)$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 关于基底 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i \right\} $ 的
坐标（coordinates）．我们说该坐标属于集合 $\mathbb R^N$，即实数集 $\mathbb R$ 自身的 $N$ 次笛卡尔积（
eq. 2 ）．注意不要把这种表示和行矢量（$1\times N$ 的矩阵）混淆．
Example 1 直角坐标
直角坐标是我们最常用的坐标之一．在三维矢量空间中，首先确定三个互相垂直的单位矢量（通常还要求符合右手定则），这里分别记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $（也有教材记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{i}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{j}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $）．显然，它们是线性无关的，可以作为基底．要确定从坐标原点到空间中任意一点的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，我们可以画出一个长方体（fig. 3 ），它沿三个方向的边长 $x, y, z$ 就是矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的三个坐标（三个有序实数），满足线性组合
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
Example 2 斜坐标系
Fig. 1：斜坐标系
事实上三维矢量空间中任何三个长度不为零且不共线不共面的矢量都可以作为一组基底．当我们要根据坐标画出矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，就画一个平行六面体（fig. 1 ），坐标轴上的三条边长就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的三个坐标．这样的坐标系叫做斜坐标系．这里同样有类似eq. 3 的线性组合关系，但每个坐标并不是矢量在对应坐标轴上的（垂直）投影．
Theorem 1 坐标的唯一性
有限维空间中，任意给定一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和一组基底 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i \right\} $，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 关于 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i \right\} $ 的坐标是唯一确定的．
我们可以用反证法证明坐标的唯一性．假设有两组不全相同的系数都可以使eq. 2 成立，分别记为 $x_i$ 和 $x'_i$．那么分别代入上式再把两式相减得到
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N (x_i-x'_i) \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
由于 $(x_i-x'_i)$ 不全为零，得基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}$ 线性相关，而这与基底的定义矛盾．证毕．
显然，基底不同时，同一个矢量的坐标也不同，因此坐标不能简单地等同于矢量本身．只有在讨论中固定了基的选择时，才可以把坐标和矢量本身等同．
我们通过一个例子来说明如果用一组线性相关的矢量的线性组合来表示另一个矢量，那么系数是不唯一的．
Example 3 线性相关组的表示不唯一
考虑一维几何矢量空间的两个不同几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，模长分别为 $a$ 和 $b$．矢量组 $\{ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} \}$ 是线性相关的，因为两个向量可以互相表示：$ \boldsymbol{\mathbf{a}} =(a/b) \boldsymbol{\mathbf{b}} $．
对于任意一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $，模长为 $c$，如果用 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 来表示，都有无穷种组合
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{c}} = \frac{\lambda}{a} \boldsymbol{\mathbf{a}} + \frac{c - \lambda}{b} \boldsymbol{\mathbf{b}}
\end{equation}
其中 $\lambda$ 可以是任意实数．
Exercise 1 计算坐标
以上所说的坐标不一定是直角坐标系的坐标．例如平面上两个基底 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _1$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _2$ 的长度分别为 1 和 2．夹角为 $\pi/3$，矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 恰好落在两个基底的角平分线上，长度为 3．求 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标．答案：$1/\sqrt 3$，$1/(2\sqrt 3)$．
Exercise 2 计算坐标
三维几何矢量空间中，建立直角坐标系，基底为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $．请证明直角坐标（即关于基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的坐标）为 $(2, 1, 1)$，$(1, 3, 1)$，$(1, 1, 4)$ 的三个矢量线性无关，并用这三个矢量作为基底，求直角坐标为 $(1, 1, 1)$ 的矢量关于这组基底的坐标（提示：代入eq. 3 解方程组）．
矢量运算的坐标形式
除了使用 $\mathbb R^N$，我们也常常把坐标记为列矢量的形式．列矢量是 $N$ 行 $1$ 列的特殊矩阵．
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}}
\end{equation}
由于坐标取决于基底，在列矢量的右下角声明基底是较为严谨的做法，但在不至于混淆的情况下我们可以将其省略，这时我们默认所有列矢量都是用同一组基底．在正文中，为了节约空间，我们将
eq. 6 记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (x, y, z)_{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}} ^{\mathrm{T}} $，其中 $ ^{\mathrm{T}} $ 表示矩阵的转置（见 “矩阵
”
eq. 2 ）．同样，我们时常省略 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}$．
当我们说两个矢量相等时，意味着同一基底下两矢量的坐标全都相等．若两矢量在不同基底下的列矢量，则需要先将它们变换到同一基底下再判断是否相等（我们以后再讨论如何进行基底变换）．
当我们确定基底后，之前介绍的加法和数乘都有对应的坐标运算．由eq. 2 及矢量加减和数乘的交换律和结合律得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \pm \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}} \pm \begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}} = \begin{pmatrix}x_1 \pm x_2\\y_1 \pm y_2\\z_1 \pm z_2\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}}
\end{equation}
\begin{equation}
\lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}} = \begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix} _{\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}}
\end{equation}
要特别注意，当定义了多组基底时，只有基底相同的两个列矢量按照
eq. 7 相加才有意义．
1. ^ 例如在狭义相对论的闵可夫斯基空间中，我们把时间看成空间的第四个维度，但在画图时，我们往往把空间简化为二维的，这样就可以用三维示意图来表示四维时空．
2. ^ 两边除以 $c_{N+1}$ 要求 $c_{N+1} \ne 0$．这可以通过反证法证明：如果eq. 1 中 $c_{N+1} = 0$，则可得出基底线性相关，不成立，证毕．
