群的表示

             

Prerequisite　群作用

表示

　　 表示（representation）是数学中的重要部分．为了能够简洁明了地讨论数学对象的性质，我们有时候需要用一个易于理解的表达方法来描述这些对象．比如说，对于学龄前的小朋友，$1+1=2$ 的概念可能过于抽象，不利于理解；这个时候我们往往会使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念，小朋友会更容易理解．

　　 表示论常常是厚重的大部头作品．在本节中，我们仅初步介绍群的表示思想．

群的表示

　　 最直观和易于讨论的群，莫过于置换群．事实上，当伽罗华（Galois）第一次提出群的概念的时候，并没有像我们现代理论那样高度抽象和严格；他主要都在讨论置换群的性质．遗憾的是，当年的数学家们都迷惑于伽罗华研究这种东西的意义何在．

　　 我们使用置换群来尝试表示任意的群．

Definition 1　群在置换群上的表示

　　 设有群 $G$ 和一个置换群 $S_n$．如果存在同态$\phi: G\rightarrow S_n$，那么我们称 $\phi$ 是群 $G$ 在 $S_n$ 上的一个表示．

　　 我们也可以使用线性空间来对群进行表示，利用线性空间的线性变换．

Definition 2　群在线性空间上的表示

　　 设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$，记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $GL(V)$1．如果存在同态$\phi: G\rightarrow GL(V)$，那么我们称 $\phi$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个表示．

1. ^ 注意 $V$ 上全体可逆矩阵ex. 5 也是这样的表达方式．矩阵可以看作是线性变换的表示．

         

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