群在自身上的作用
给定一个群 $G$，我们任意拿出一个元素 $a\in G$，用 $a$ 去左乘 $G$ 中的所有元素（包括 $a$ 自己），那么我们可以把 $a$ 看成一种 $G$ 到自身上的映射：$f_a:G\rightarrow G$，使得对于任意 $x\in G$，$f_a(x)=ax$．
群 $G$ 中的每一个元素都可以像这样生成一个映射，把这些映射全部放在一起，我们也可以整体上看成一个映射 $f:G\times G\rightarrow G$，满足：对于任意的 $a, x\in G$，有 $f(a,x)=f_a(x)=ax$．这样的 $G\times G$ 到 $G$ 上的映射，被称为一个群作用（group action）．
按照上述定义得到的作用，通常称为左平移作用；相应地，我们也可以让元素 $a$ 对 $x$ 的作用是 $g_a(x)=xa$；这样的作用被称为右平移．
群作用
更一般地，对于任何集合 $X$，群 $G$ 中每个元素都可以代表 $X\rightarrow X$ 的一个映射．我们当然可以任意规定这些映射，但如果这些映射满足一定条件的话，就会构造出一个很有意思的结构：
Definition 1 群作用
设群 $G$ 和集合 $X$，$G$ 中每个元素都是 $X$ 到自身的映射，记 $g\in G$ 将 $x\in X$ 映射为 $g\cdot x\in X$．如果所有这些映射满足满足下面两条公理：
- 结合律：对于 $g_1, g_2\in G, x\in X$，$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$．
- 单位元是恒等映射：$G$ 的单位元 $e$ 将任何 $x\in X$ 映射到自身：$e\cdot x=x$．
那么我们称群 $G$ 作用（acts）于集合 $X$ 上．
群作用可以像定义里一样记为 $g\cdot x$，也可以记为 $X$ 到 $X$ 的若干映射 $f_g(x)=g\cdot x$，还可以整体上看成 $G\times X$ 到 $X$ 的一个映射 $f(g, x)=g\cdot x$．
群作用的例子
Example 1 平移作用
本条开头定义的左平移和右平移，就是群在自身集合上的作用．
Example 2 伴随作用
对于任意 $a\in G$，令 $f_a: G\rightarrow G$ 满足 $\forall x\in G, f_a(x)=axa^{-1}$，则这些映射定义了一个群 $G$ 在集合 $G$ 上的作用，称为伴随作用．
Example 3 线性变换
参考线性变换．我们已经知道，$n$ 阶非奇异矩阵配上乘法可以构成一个群；相应地，满秩线性变换（可逆线性变换）配上映射的复合运算构成一个群．非奇异矩阵乘法是给定了基向量以后，满秩线性变换的复合的表示．
取 $n$ 维实数向量空间 $X$，那么 $X$ 是向量的集合；$GL(n,\mathbb{R})$ 是 $X$ 上可逆线性变换的群，显然 $GL(n,\mathbb{R})$ 按照通常的线性变换定义，构成了在 $X$ 上的一个作用．
群作用的性质
当我们讨论群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用时，一共有两个集合要关心．
如果我们固定 $X$ 中的一个元素 $x$，那么每个 $G$ 中元素 $g$ 都把 $x$ 映射到某个 $f_g(x)\in X$ 上．所有能这样被映射到的元素 $f_g(x)$ 构成了 $X$ 的一个子集，称为元素 $x$ 的轨道（orbit）．我们也可以找出所有不移动 $x$ 的群元素 $g$，即满足 $f_g(x)=x$ 的 $g\in G$，那么所有这样的 $g$ 构成了 $G$ 的一个子群 $F_x$，称为 $x$ 的迷向子群（isotropy subgroup）或者稳定子群（stablizer subgroup）．
Exercise 1 迷向子群
证明 $F_x$ 构成群（ex. 2 ）．
如果对于任何 $x\in X$，$x$ 的轨道都是整个 $X$，那么我们称这个作用是可递的，此时 $X$ 就是 $G$ 的齐性空间．如果对于任何 $x\in X$，$x$ 的轨道只是 $\{x\}$，那么这个作用就是平凡（trivial）的．
如果对于任何 $x\in X$，任何 $g\in G-\{e\}$，都使得 $g\cdot x\not=x$，那么我们说这个作用是有效的．有效性等价于说任何 $x\in X$ 的迷向子群都是 $\{e\}$．
在之前的例子中，平移作用既是可递的，又是有效的．但是伴随作用不能保证有效性和可递性，具体情况要看群的结构性质．全体可逆线性变换构成的群作用在非零向量空间上，这个作用是可递的，也是有效的——注意一定得是非零向量空间，把零向量排除在外．
Theorem 1
设群 $G$ 作用在 $X$ 上，在 $X$ 上定义关系 $\sim$ 如下：$\forall x, y\in X, x\sim y \iff \exists g\in G, g\cdot x=y$，或者说，$x\sim y$ 当且仅当 $y$ 在 $x$ 的轨道里．那么，$\sim$ 是一个等价关系．
由群 $G$ 的封闭性和逆元存在性分别可以证明thm. 1 中关系 $\sim$ 的传递性和对称性．这个定理说明，轨道划分是一种等价类划分．
Definition 2
设群 $G$ 按照伴随作用，作用在自身上．
- 对于 $g\in G$，记 $C_g$ 为 $g$ 在伴随作用下的轨道，称 $C_g$ 为 $g$ 的共轭类（conjugate class），每一个 $h\in C_g$ 都称为 $g$ 的共轭元素（conjugate）．
- 对于 $g\in G$，记 $C_G(g)$ 是 $g$ 在伴随作用下的迷向子群，称 $C_G(g)$ 为 $g$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer）．
- 记 $C(G)=\bigcap_{g\in G} C_G(g)$，称为群 $G$ 的中心（center）．
群的中心还有另一个定义：所有可以和 $G$ 中一切元素交换的元素构成的集合，就是 $C(G)$．
Theorem 2 轨道-迷向子群定理
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上．固定一个 $x\in X$，那么对于 $g, h\in G$，我们有 $g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in F_x\iff h\in gF_x$．也就是说，如果两个群元素 $g, h$ 能够把 $x$ 映射到同一个元素上，那么 $g$ 和 $h$ 在迷向子群 $F_x$ 的同一个左陪集上．
Corollary 1
由thm. 2 ，$|G|/|F_x|=|O_x|$，其中 $O_x$ 是 $x$ 的轨道．
Exercise 2 Burnside 引理
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上．对于给定的 $g\in G$，记 $X^g=\{x\in X|g\cdot x=x\}$，$O_x$ 是 $x\in X$ 的轨道，那么 $|\{O_x|x\in X\}|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$．就是说，$X$ 上轨道的数目，等于每个 $g\in G$ 作用后不产生效果的元素数量之平均值．证明此引理（见ex. 3 ）．