群同态

             

Prerequisite　正规子群

同构

　　 让我们来观察两个群 $(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(2\mathbb{Z},+)$．如果我们把 $2\mathbb{Z}$ 中的 $2$ 都看成 $1$，$4$ 都看成 $2$，以此类推，将 $2k$ 都看成 $k$，那么两个群的运算规则是一模一样的．比如说，$2\mathbb{Z}$ 中有 $2+4=6$，对应的是 $\mathbb{Z}$ 中 $1+2=3$ 的等式．

　　 我们研究集合和群的时候，元素叫什么名字并不重要，重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的．那么，如果我们真的将 $2\mathbb{Z}$ 中的元素 $2k$ 都重命名为 $k$，它就和 $\mathbb{Z}$ 没什么区别了．所以在群的意义上，如果不考虑子群关系，单独把 $\mathbb{Z}$ 和 $2\mathbb{Z}$ 拿出来的时候，我们就认为它们是不可区分的，完全相同的两个群．

　　 如果我们建立一个映射 $f:\mathbb{Z}\rightarrow2\mathbb{Z}$，定义为 $f(k)=2k$，那么这个 $f$ 就是一个双射，它在两个群的元素之间一一对应地建立了联系．这样，对于任意整数 $m, n$，有 $f(m)+f(n)=f(m+n)$，也就是说 “先运算再映射” 和 “先映射再运算” 结果是相同的．

　　 类似地，对于任意的两个群 $G$ 和 $K$，如果存在一个双射 $f:G\rightarrow K$，使得对于任意的 $x, y\in G$ 都满足 $f(x)f(y)=f(xy)$，那么这两个群的运算结构就是一模一样的．这时我们说这两个群是同构（isomorphic）的，而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射（isomorphic mapping），也可以简称同构（isomorphism）这里加粗的两个 “同构”，前者是形容词，后者是名词．

　　 由于同构使得两个群各方面表现一模一样，研究同构其实没有太大意义，我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群，不管元素具体怎么命名的．有意思的结构，是以下定义的 “同态映射”．

同态

　　 同构映射是一个双射．如果把这个要求拿掉，我们就得到同态的概念：

Definition 1　同态映射

　　 对于两个群 $G$ 和 $K$，如果映射（不一定是双射）$f:G\rightarrow K$ 使得 $\forall x, y\in G, f(x)f(y)=f(xy)$，那么称 $G$ 和 $K$ 是同态（homomorphic）的，称 $f$ 是同态映射（homomorphic mapping）或同态（homomorphism）．

Definition 2　像和核

　　 沿用def. 1 的设定．$K$ 中被映射到的元素构成的集合，称为 $f$ 的像（image），记作 $f(G)$．$G$ 中映射到 $K$ 的单位元 $e_K$ 的元素构成的集合，称为 $f$ 的核（kernal），记为 $\ker(f)$．

　　 注意，$f(G)\subset K$，$\ker(f)\subset G$．

　　 同态的两个群，运算结构很相似但又不完全一样．在以上定义的例子中，$K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$，可能会丢失一些细节，但保留的方面和 $G$ 是一模一样的．这么说可能不够具体，我们用习题来理解同态的 “似而不同”．

Exercise 1　群同态基本定理

　　 设两个群 $G$ 和 $K$，$f:G\rightarrow K$ 是一个同态．求证：

  • $\ker(f)$ 是 $G$ 的一个正规子群1．
  • 对于 $x, y\in G$，如果 $x_1$ 和 $y_1$ 分别和 $x, y$ 同余，或者换句话来说，$x_1^{-1}x\in H$ 和 $y_1^{-1}y\in H$，那么 $f(x)=f(x_1)$，$f(y)=f(y_1)$．
  • 由前两条的结论，证明可以用 $f$ 来导出一个映射 $f': G/\ker(f)\rightarrow K$ 是一个同构．

　　 由exer. 1 ，同态的实质就是商群 $G/\ker(f)$ 和 $K$ 之间的同构．$G/\ker(f)$ 继承了 $G$ 的运算，但是由于把同余的元素全都当作同一个了，也就丢失了一部分细节．因此我们说同态的两个群也是 “似而不同” 的．

1. ^ 这保证了群 $G/\ker(f)$ 存在．

         

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