生活中有许多现象可以看做是随机的，例如掷骰子的点数．事实上骰子作为一个宏观物体，其运动可以用一个复杂的动力学方程来精确描述．但经过诸如 “摇匀” 这种混沌过程后，方程的最终结果对初始条件极为敏感，使结果难以预测．这时我们就有充分的理由将该结果看作是随机的，并用一个变量来表示可能的结果（就像把方程中的未知数用 $x$ 表示）．我们把这样的变量称为随机变量．
随机变量可以是离散的也可以是连续的，例如掷骰子的点数只能取 1 到 6 的离散值，而打靶时子弹离靶心的距离就可以用一个连续的随机变量表示．一些更复杂事件的结果可能需要用到不止一个随机变量来描述，本文只讨论单个随机变量，但结论容易拓展到多个变量．
对于一些离散的随机变量，可能发现每个离散值得到的概率也都是恒定的．对一个公平的骰子，所有的点数得到的概率都是 $1/6$；对一个公平的硬币，掷到正反两面的概率都是 $1/2$．如果骰子或硬币是不公平的，不同结果会对应不同的概率，但这些概率也是固定的．对于连续的随机变量，得到不同值的概率可能也是固定的，然而这些值有无穷多个，应该如何描述他们对应的概率呢？
连续随机变量的分布函数
我们可以用概率分布函数（probability distribution function，PDF）来描述一个变量取各个值的概率．假设一个连续随机变量 $x$ 可以在某个区间内取值，我们就把该区间分为 $n$ 份，第 $i$ 个子区间的长度为 $\Delta x_i$ 然后我们做大量的实验（记为 $N$ 次），把随机变量得到的每个值分类归入这 $n$ 个子区间中，并把第 $i$ 个区间中值的个数记为 $N_i$．现在我们可以画出一种表示概率的直方图（histogram），令第 $i$ 个区间的长方形高度为 $y_i = N_i/(N \Delta x_i)$，则每个长方形的面积 $y_i \Delta x_i = N_i/N$ 表示随机变量的值落在第 $i$ 个区间的概率，注意所有长方形的面积之和为 1．
现在，我们令区间数 $n\to \infty$ 且每个区间长度 $\Delta x_i \to 0$，则离散的 $y_i$ 值就可以表示为函数 $y = f(x)$．我们可以用定积分来表示 “所有长方形的面积之和为 1”，即1
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) = 1
\end{equation}
该式叫做概率分布函数的
归一化．满足归一化意味着，所有情况发生的概率总和为 1．
若我们要求随机变量落在区间 $[a,b]$ 内的概率，就求 $[a,b]$ 区间内分布函数下方的面积即可．更常见地，我们可以用微分式
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{P} = f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
表示 $x$ 处长度为 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的区间微元对应的概率 $ \,\mathrm{d}{P} $．所以 $f(x)$ 又被称为
概率密度（probability density）．
平均值
大学物理中，随机变量 $x$ 的平均值通常被表示为 $\bar x$ 或者 $ \left\langle x \right\rangle $，我们以后都会使用．
对于离散的情况，某个量的平均值等于每个可能的值出现的概率乘以该值再求和，即
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle = \sum_i x_i P_i
\end{equation}
要求某个分布的平均值，我们同样可以将整个区间划分为 $n$ 个子区间，每个区间的概率近似为 $P_i = f(x_i) \Delta x_i$，则平均值为
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle \approx \sum_{i=0}^n x_i P_i = \sum_{i=1}^n x_i f(x_i) \Delta x_i
\end{equation}
用定积分
的思想，当子区间无限多且取无限小时，上式变为
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
方差
离散情况下，若已知平均值 $ \left\langle x \right\rangle $，方差（每个数据点离平均值距离的平方的平均值）可定义为
\begin{equation}
\sigma_x^2 \approx \sum_{i=0}^n (x_i - \bar x)^2 P_i
\end{equation}
与计算平均值的思路类似，将方差拓展到连续变量的情况得
\begin{equation}
\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(x-\bar x \right) ^2 f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
Exercise 1
某直流电源存在微小误差，其电压随时间的函数为
\begin{equation}
U(t) = U_0 + \varepsilon \sin\left(\omega t\right)
\end{equation}
为衡量误差大小，请计算电压的方差（用 $\varepsilon$ 表示）．提示：由于电压变化是周期性的，可以只在一个周期内积分．
任意函数的平均
更一般地，我们可以对离散的随机变量 $x_i$ 定义任意函数 $g(x)$ 的平均值为
\begin{equation}
\left\langle g \right\rangle = \sum_{i=0}^n g(x_i) P_i
\end{equation}
例如在计算平均值和方差时，$g(x)$ 分别取 $x$ 和 $(x - \bar x)^2$．
拓展到连续的随机变量，有
\begin{equation}
\left\langle g \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
Example 1 分子的平均动能
某气体中含有大量分子（阿伏伽德罗常数数量级：$10^{23}$），若假设某时刻它们的速度大小 $v$ 的分布函数为
\begin{equation}
f(v) = A \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{max}}\right) \qquad (v \in [0, v_{max}])
\end{equation}
其中 $A$ 为常数．请分别计算：
- 常数 $A$，使 $f(v)$ 满足归一化（eq. 1 ）
- 分子速度大小的平均值
- 分子速度大小方差
- 分子动能 $E_k = mv^2/2$ 的平均值
- 分子动能的方差
1. ^ 注意积分上下限是 $x$ 取值的区间，以下为了方便表示，我们取整个实数域，可以理解为超出区间的部分概率分部函数为 0．