直观来说，欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”．这从定义就可以看出来：任取 $a$，再用任意的 $b$ 去尝试除以它，总能得到 $qb+r$ 的形式，其中 $r$ 相当于除法的余数．虽然任意环中的元素都可以这么做分解，而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值，使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的，这样就使得我们可以多次分解，也就是进行辗转相除．
为了严格证明以上说法成立，我们还需要讨论欧几里得环的一个性质：
证明：
任选 $a\in R$ 且 $a\not=0$，那么 $a=1a+0$，故由欧几里得环的定义可推知，对于任意 $a\in R-\{0\}$，必有 $\delta(0) < \delta(a)$，由此得证．
证毕．
有了thm. 1 ，我们还可以补上定义中没有说明的一点：当 $\delta(a)\leq\delta(b)$ 的时候，我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质．因此，一般只讨论 $\delta(a) > \delta(b)$ 的情形．
我们来看几个典型的欧几里得环．
$ \operatorname (deg)(f)$ 是 $f$ 的次数，也就是系数非零的最高项的幂次．这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $ \operatorname {deg}(0)=-\infty$，而我们希望 $\delta(0)=0$．
证明：
对于任意 $z\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$，令 $\delta(z)= \left\lvert z \right\rvert ^2$．
任给 $a, b\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$，不妨设 $\delta(a) > \delta(b)$．于是必有 $u, v\in\mathbb{Q}$，使得 $\frac{a}{b}=(u+v \mathrm{i} )$．
于是必有 $c, d\in\mathbb{Z}$，使得 $ \left\lvert c-u \right\rvert \leq\frac{1}{2}$ 和 $ \left\lvert d-v \right\rvert \leq\frac{1}{2}$．
令 $q=c+d \mathrm{i} $，$r=(c+d \mathrm{i} )b-(u+v \mathrm{i} )b=(c+d \mathrm{i} )b-a$，即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta(r) < \delta(b)$．
证毕．
证明：
设 $R$ 是一个欧几里得环，令 $I$ 为 $R$ 的一个理想．不妨设 $I\not=\{0\}$．
由于 $\delta(I)=\{\delta(i)|i\in I\}\subseteq\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$，故在非零的 $\delta(i)$ 中存在最小值 $\delta(b)$，其中 $b\in I$．
任取 $a\in I$，则存在 $q, r\in R$ 且 $\delta(r) < \delta(b)$，使得 $a-qb=r$．
由于 $a, b\in I$ 且 $I$ 有吸收律2，故 $r\in I$．由于 $\delta(b)$ 是 $\delta(I)$ 中的最小非负值，因此必有 $\delta(r)=0$．由thm. 1 ，$r=0$．
因此，$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立．
故 $I=\langle b \rangle$，从而得证．
证毕．