正交曲线坐标系
1如果 $u, v, w$ 是三维空间中某曲线坐标系的三个坐标，空间任意一点的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 都是它们的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (u, v, w)$．那么定义任意一点处三个单位矢量为
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} = \frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial u }{ \left\lvert \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial u \right\rvert }\qquad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} = \frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial v }{ \left\lvert \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial v \right\rvert }\qquad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} = \frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial w }{ \left\lvert \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial w \right\rvert }
\end{equation}
注意一般来说，这三个矢量会随着 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 改变．形象地说：当我们分别只把 $u, v, w$ 增加一点时，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 会分别沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{w}}} $ 方向移动（请以球坐标系和柱坐标系为例思考）．
若对空间中任意一点，eq. 1 中的三个矢量都两两正交，那么这个曲线坐标系就是正交曲线坐标系（orthogonal curvilinear coordinate system）．常见的例子除了球坐标系，柱坐标系 还有抛物线坐标系．
Exercise 1
练习：试着用eq. 1 计算球坐标和柱坐标中的单位矢量，例如球坐标中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = r\sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
然后用点乘
证明它们的单位矢量总是两两垂直．即球坐标系和柱坐标系都是正交曲线坐标系．
1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面．