矩阵的迹
贡献者： addis; JierPeter
定义 1 矩阵的迹
令 域 $\mathbb{F}$ 上的 $N$ 维方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵元为 $a_{ij}\in\mathbb{F}$，它的迹（trace）定义为对角线上矩阵元之和
\begin{equation}
\operatorname {tr}(A) = \sum_{i=0}^N a_{ii}~.
\end{equation}
矩阵的迹是刻画矩阵性质的一个量，它的优点在于满足以下一些性质，从而成为了分析矩阵的变换的利器。
1. 性质
定理 1 线性
矩阵的求迹操作是线性的，即对于域 $\mathbb{F}$ 上的方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和域中元素 $c_1$，$c_2$，有
\begin{equation}
\operatorname {tr}(c_1 \boldsymbol{\mathbf{A}} +c_2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = c_1 \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + c_2 \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} )~,
\end{equation}
证明留作练习。
定理 2 交换性
矩阵乘法的迹满足（$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 不必是方阵，但要求乘积是方阵。注意 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的尺寸和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 未必相同）
\begin{equation}
\operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} )~.
\end{equation}
证明：令式 3 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $M\times N$ 的矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为 $N\times M$ 的矩阵
\begin{equation}
\operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \sum_{i=1}^M \sum_{k=1}^N a_{ik}b_{ki} = \sum_{i=1}^M \sum_{k=1}^N b_{ki}a_{ik} = \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^M b_{ik}a_{ki} = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} )~,
\end{equation}
证毕。
证明：根据交换性式 3
$$ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} ) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1}) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )~,$$
证毕。
定理 4
矩阵的迹等于它的所有 $N$ 个本征值 $\lambda_i$ 相加，如果某个本征值有 $n$ 重简并，就视为 $n$ 个本征值
\begin{equation}
\operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \sum_{i=0}^N \lambda_i~.
\end{equation}
习题 1
对于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，若记其转置为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} $，共轭为 $\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }$，厄米共轭为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$，那么有：
\begin{equation}
\operatorname {tr}(A ^{\mathrm{T}} )= \operatorname {tr}(A), \qquad \operatorname {tr}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=\overline{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}~.
\end{equation}
由此可得推论：$ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger)= \operatorname {tr}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} })=\overline{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}$。
例 1
$ \operatorname {tr}(AA^\dagger)=0$ 当且仅当 $ \operatorname {tr}(A)=0$。
2. 矩阵的迹的应用实例
习题 2
对于域 $\mathbb{C}$ 上的方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2= \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$，求证 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$。
提示：使用例 1 的结论，证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger=0$ 即可。