自旋求和

贡献者： zhousiyi

　　计算费曼图的时候，我们经常需要对费米子的极化态进行求和。我们可以进行这样的求和

\begin{aligned} \sum_{s = 1, 2} u^{s} (p) {\bar{u}}^{s} (p) & = \sum_{s} (\begin{array}{c} \sqrt{p \cdot σ} ξ^{s} \\ \sqrt{p \cdot \bar{σ}} ξ^{s} \end{array}) (\begin{array}{c} ξ^{s †} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & ξ^{s †} \sqrt{p \cdot σ} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \sqrt{p \cdot σ} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & \sqrt{p \cdot σ} \sqrt{p \cdot σ} \\ \sqrt{p \cdot \bar{σ}} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & \sqrt{p \cdot \bar{σ}} \sqrt{p \cdot σ} \end{array}) \\ (1) & = (\begin{array}{c} m & p \cdot σ \\ p \cdot \bar{σ} & m \end{array}) . \end{aligned}

第二行的化简过程中我们用到了这样的归一化条件

\begin{matrix} (2) & \sum_{s = 1, 2} ξ^{s} ξ^{s †} = 1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

我们推出了自旋求和公式

\begin{matrix} (3) & \sum_{s} u^{s} (p) {\bar{u}}^{s} (p) = γ \cdot p + m . \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (4) & \sum_{s} v^{s} (p) {\bar{v}}^{s} (p) = γ \cdot p - m . \end{matrix}

γ \cdot p

是一个经常要用到的物理量。我们可以用

p / \equiv γ^{μ} p_{μ}

来代替。

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