狄拉克场的传播子

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预备知识　狄拉克场的量子化

　　我们先计算出电子从 $y$ 到 $x$ 传播的振幅与正电子从 $x$ 到 $y$ 传播的振幅，计算过程中利用了旋量自旋求和的结果：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ⟨ 0 | ψ_{a} (x) {\bar{ψ}}_{b} (y) | 0 ⟩ & = ⟨ 0 | \int \frac{d 3 p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} \sum_{s} u_{a}^{s} (p) {\bar{u}}_{b}^{s} (p) e^{- i p (x - y)} | 0 ⟩ \\ = (i {∂̸}_{x} + m)_{a b} \int \frac{d 3 p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} e^{- i p (x - y)}, \\ ⟨ 0 | {\bar{ψ}}_{b} (y) ψ_{a} (x) | 0 ⟩ & = - (i {∂̸}_{x} + m)_{a b} \int \frac{d 3 p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} e^{- i p (y - x)} . \end{aligned} \end{matrix}

由于积分测度

\int \frac{d 3 p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}}

的洛伦兹不变性，对于类空间隔的两个点

x, y

，上面两个振幅相加为

0

，即

ψ_{α} (x)

和

{\bar{ψ}}_{β} (y)

的反对易子为

0

。这是 Dirac 场情形下因果性的体现。我们可以定义 Dirac 场的推迟传播子

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} S_{R}^{a b} (x - y) & = θ (x^{0} - y^{0}) ⟨ 0 | {ψ_{a} (x), {\bar{ψ}}_{b} (y)} | 0 ⟩ = (i {∂̸}_{x} + m)_{a b} D_{R} (x - y) \\ = (i {∂̸}_{x} + m)_{a b} \int \frac{d 4 p}{(2 π)^{4}} (\frac{i}{p^{2} - m^{2}}) e^{- i p (x - y)} \\ = \int \frac{d 4 p}{(2 π)^{4}} \frac{i (p̸ + m)_{a b}}{p^{2} - m^{2}} e^{- i p (x - y)} . \end{aligned} \end{matrix}

利用等式

∂̸ ∂̸ = γ^{μ} \partial_{μ} γ^{ν} \partial_{ν} = \partial^{2}

，可以得出，

S_{R} (x - y)

是 Dirac 算符的推迟格林函数，即

(i {∂̸}_{x} - m) S_{R} (x - y) = i δ^{(4)} (x - y) \cdot 1_{4 \times 4} .

我们后面将要用到的仍然是 Feynman 传播子，也被称为编时传播子

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} S_{F} (x - y) & = \int \frac{d 4 p}{(2 π)^{4}} \frac{i (p̸ + m)}{p^{2} - m^{2} + i ϵ} e^{- i p (x - y)} \\ = ⟨ 0 | T ψ (x) \bar{ψ} (y) | 0 ⟩ \\ = θ (x^{0} - y^{0}) ⟨ 0 | ψ (x) \bar{ψ} (y) | 0 ⟩ - θ (y^{0} - x^{0}) ⟨ 0 | \bar{ψ} (y) ψ (x) | 0 ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

类似地，也可以证明

S_{F} (x - y)

是 Dirac 算符的格林函数

(i {∂̸}_{x} - m) S_{F} (x - y) = i δ^{(4)} (x - y) \cdot 1_{4 \times 4} .