相互作用表象

贡献者： _Eden_

预备知识 1　海森堡绘景，

　　一个相互作用系统中，哈密顿量一般可以写为自由哈密顿量与相互作用哈密顿量之和 $H = H_{0} (m_{0}) + H_{i n t}$ 。我们已经知道如何在海森堡表象中讨论自由场论，但当相互作用引入时，原先的能量本征态不再是完全哈密顿量 $H$ 的本征态，系统的真空态（基态）也不再是原来的真空态，这造成了很大的困难。为此我们引入相互作用表象，试图在微扰论的框架下解决相应的问题。我们约定上下标中的 $S$ 代表薛定谔表象， $I$ 代表相互作用表象。

1. 相互作用场

预备知识 2　标量场的量子化

　　我们知道在海森堡表象下态矢量是不变的，场算符随时间的演化方程为

\begin{matrix} (1) & ϕ (t, x) = e^{H (t - t_{0})} ϕ_{S} (x) e^{- H (t - t_{0})} . \end{matrix}

在

t = t_{0}

时刻，它完全等同于薛定谔表象下的算符，但在

t \neq t_{0}

时刻，由于相互作用的存在，它将是十分复杂的。因此，我们定义相互作用表象中的场算符为

\begin{matrix} (2) & ϕ_{I} (t, x) = e^{H_{0} (t - t_{0})} ϕ_{S} (x) e^{- H_{0} (t - t_{0})} . \end{matrix}

　　相互作用表象中，场算符的时空演化算符与自由场完全相同。除此以外，它可以用时间演化算符 $U (t, t_{0})$ 与海森堡表象的场 $ϕ (x)$ 联系起来

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ϕ_{I} (x) = U_{I} (t, t_{0}) ϕ (x) U_{I}^{†} (t, t_{0}), | ψ (t) ⟩^{I} = U_{I} (t, t_{0}) | ψ ⟩, \\ U_{I} (t, t_{0}) = e^{i H_{0} (t - t_{0})} e^{- i H (t - t_{0})} . \end{aligned} \end{matrix}

相互作用表象下的时间演化算符

U_{I} (t, t_{0})

满足下列微分方程和初条件

\begin{matrix} (4) & i \frac{\partial}{\partial t} U_{I} (t, t_{0}) = V_{I} (t) U_{I} (t, t_{0}), U_{I} (t_{0}, t_{0}) = 1, \end{matrix}

其中

V_{I} (t) = e^{i (t - t_{0})} H_{i n t} e^{- i (t - t_{0})}

为相互作用表象下的相互作用哈密顿量。求解该微分方程，可以得到

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} U_{I} (t, t_{0}) = & T [\exp (- i \int_{t_{0}}^{t} V_{I} (t^{'}) d t^{'})] \\ = & 1 - i \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) + i^{2} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} \int_{t_{0}}^{t^{'}} d t^{″} V_{I} (t^{'}) V_{I} (t^{″}) \\ - i^{3} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} \int_{t_{0}}^{t^{'}} d t^{″} \int_{t_{0}}^{t^{″}} d t^{‴} V_{I} (t^{'}) V_{I} (t^{″}) V_{I} (t^{‴}) + \dots \end{aligned} \end{matrix}

以上解的形式是编时指数函数，对编时指数函数进行幂级数展开后得到 Dyson 级数。事实上，相互作用表象下的时间演化算符可以推广到任两个时刻

t, t^{'}

之间

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} | ψ (t) ⟩^{I} = U_{I} (t, t^{'}) | ψ (t^{'}) ⟩^{I}, \\ U_{I} (t, t^{'}) = e^{i H_{0} (t - t_{0})} e^{- i H (t - t^{'})} e^{- i H_{0} (t^{'} - t_{0})} . \end{aligned} \end{matrix}

容易验证它是一个幺正算符，并且满足

\begin{matrix} (7) & U_{I} (t_{1}, t_{2}) U_{I} (t_{2}, t_{3}) = U_{I} (t_{1}, t_{3}), U_{I} (t_{1}, t_{3}) [U_{I} (t_{2}, t_{3})]^{†} = U_{I} (t_{1}, t_{2}) . \end{matrix}