自旋与有限转动

贡献者：叶月2_; addis

预备知识 1　轨道角动量（量子力学），旋转算符，自旋角动量

1. 空间转动与角动量生成元

　　在物理里，常有系统 “主动旋转” 与坐标系 “被动旋转” 之分。如下图所示，系统 $P$ 和附着在坐标系上的 $Q$ 点到原点的距离相同。因此，若系统要到达 $Q$ 点，可以绕原点顺时针转动 $ϕ$ 角，或者坐标系逆时针转动 $ϕ$ 。

图 1

　　以右手定则确定 $z$ 轴，现在我们逆时针转动系统 $P$ ，角度为 $ϕ$ 。设原坐标为 $v = a i + b j + c k$ ，新坐标为 $v^{'} = a i^{'} + b j^{'} + c k$ 。稍加计算可知 $i^{'} = {(\begin{matrix} \cos ϕ & \sin ϕ \end{matrix})}^{T}, j^{'} = {(\begin{matrix} - \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix})}^{T}$ 。所以

\begin{matrix} (1) & v^{'} \equiv R_{z} (ϕ) v = (\begin{matrix} \cos ϕ & - \sin ϕ & 0 \\ \sin ϕ & \cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) v, \end{matrix}

同理可得

\begin{matrix} (2) & R_{x} (ϕ) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos ϕ & - \sin ϕ \\ 0 & \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix}), R_{y} (ϕ) = (\begin{matrix} \cos ϕ & 0 & \sin ϕ \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin ϕ & 0 & \cos ϕ \end{matrix}) . \end{matrix}

设绕

x, y, z

轴转动的生成元分别为

J_{x}, J_{y}, J_{z}

，满足

e^{- i J_{i} ϕ} = R_{i} (ϕ)

，则可计算得到三个生成元分别为：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} J_{x} & = i \frac{d R_{x} (ϕ)}{d ϕ} |_{ϕ = 0} = i (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \\ J_{y} & = i \frac{d R_{y} (ϕ)}{d ϕ} |_{ϕ = 0} = i (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}) \\ J_{z} & = i \frac{d R_{z} (ϕ)}{d ϕ} |_{ϕ = 0} = i (\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

读者可验证，生成元满足对易关系

[J_{i}, J_{j}] = i ϵ_{i j k} J_{k}

，与量子力学的角动量算符对易关系相同。

2. 自旋态矢的 “转动”

未完成：修改旋转算符一节或者合并

预备知识 2　四元数

　　从式 7 可知，轨道角动量算符的 $e$ 指数关系（ $e^{- i {\hat{L}}_{i} ϕ / ℏ}$ ）可以诱导波函数绕 $i$ 轴逆时针转动 $ϕ$ 角。于是很自然的一个猜想是：自旋角动量算符是否可以诱导自旋部分的态矢 “转动”？尽管这并非是空间转动，但满足 “旋转” 后的态矢模方不变。

　　现在我们利用四元数来证明这一点。已知单位四元数 $Q ≅ S U (2)$ ，设线性同构映射 $f$ 为：

\begin{matrix} (4) & 1 \to (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), \hat{i} \to - i σ_{1} = - i (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), \hat{j} \to - i σ_{2} = - i (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), \hat{k} \to - i σ_{3} = - i (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

　　设 $q$ 为任意四元数，则

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f (q) & = f (\cos (\frac{ϕ}{2}) + \hat{k} \sin \frac{ϕ}{2}) \\ = (\begin{array}{c} \cos (\frac{ϕ}{2}) - i \sin (\frac{ϕ}{2}) & 0 \\ 0 & \cos (\frac{ϕ}{2}) + i \sin (\frac{ϕ}{2}) \end{array}) \equiv e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ / ℏ}, \end{aligned} \end{matrix}

解得生成元为

\begin{matrix} (6) & {\hat{S}}_{z} = i ℏ \frac{d f (q)}{d ϕ} |_{ϕ = 0} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), \end{matrix}

确实是我们熟知的

{\hat{S}}_{z}

。同理，用

\hat{j}, \hat{i}

代替

\hat{k}

，可以推导得到

{\hat{S}}_{y}, {\hat{S}}_{x}

，也是

{\hat{S}}_{z}

表象下的自旋角动量分量形式。因此

{\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{y}, {\hat{S}}_{z}

是

S U (2)

的生成元，可以诱导对复二维列向量的特殊酉变换。

　　由上述旋转算符的幺正性可知，特殊酉变换对自旋态矢作用后能保总概率密度不变，然而这和空间旋转不是等价的，因为周期性不同。以式 5 为例，可知当 $ϕ = 4 π$ 时，才对应恒等变换，才能让自旋态矢复位。而对于式 1 ， $ϕ = 2 π$ 即可让空间向量复位。

习题 1　

　　设系统态矢为 $| β ⟩ = {(\begin{matrix} a^{1} & a^{2} \end{matrix})}^{T}$ 。如果系统 “绕 $z$ 轴转动 $ϕ$ ”，写出转动后的态矢。

自旋期望值的 “旋转”

　　为方便计，本节采取约定 $ℏ = 1$ 。

　　以自旋 $1 / 2$ 的粒子为例，其自旋期望值为 $(⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩, ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩, ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩)$ 。设该粒子的初始态矢为 $| a ⟩$ ，态矢绕 $z$ 轴 “转动” 后变为 $e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} | a ⟩$ 。

　　则期望值变化为：

\begin{matrix} (7) & ⟨ a | {\hat{S}}_{i} | a ⟩ \to ⟨ a | e^{i {\hat{S}}_{z} ϕ} {\hat{S}}_{i} e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} | a ⟩ . \end{matrix}

在

{\hat{S}}_{z}

表象下计算

e^{i {\hat{S}}_{z} ϕ} {\hat{S}}_{x} e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ}

得：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} e^{i {\hat{S}}_{z} ϕ} {\hat{S}}_{x} e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} & = e^{i {\hat{S}}_{z} ϕ} (\frac{1}{2} (| - ⟩ ⟨ + | + | + ⟩ ⟨ - |)) e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} \\ = \frac{1}{2} (e^{- i t} | - ⟩ ⟨ + | + | + ⟩ ⟨ - | e^{i t}) \\ = \frac{1}{2} [\cos (ϕ) (| - ⟩ ⟨ + | + | + ⟩ ⟨ - |) + i \sin (ϕ) (| + ⟩ ⟨ - | - | - ⟩ ⟨ + |)] \\ = \cos (ϕ) {\hat{S}}_{x} - \sin (ϕ) {\hat{S}}_{y} . \end{aligned} \end{matrix}

因此，

{\hat{S}}_{x}

的期望值变化为：

\begin{matrix} (9) & ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \to ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \cos (ϕ) - ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \sin (ϕ) . \end{matrix}

同理可以计算出其他分量的期望值变化：

\begin{matrix} (10) & ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \to ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \cos (ϕ) + ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \sin (ϕ), \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩ \to ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩ . \end{matrix}

因此，自旋期望值可看作经典矢量，态矢绕自旋

z

分量 “旋转” 相当于该矢量绕

z

轴 “旋转”：

\begin{matrix} (12) & (\begin{matrix} \cos (ϕ) & - \sin (ϕ) & 0 \\ \sin (ϕ) & \cos (ϕ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} \overset{―}{{\hat{S}}_{x}^{'}} \\ \overset{―}{{\hat{S}}_{y}^{'}} \\ \overset{―}{{\hat{S}}_{z}^{'}} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　若态矢绕 $y$ 轴旋转 $ϕ$ ，为计算方便，我们在 ${\hat{S}}_{y}$ 表象下讨论。因为自旋三分量的本征值相同，所以在新表象下， ${\hat{S}}_{y}^{'} = S_{z}$ 。设过渡矩阵为 $U$ ，则

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} {\hat{S}}_{y}^{'} & = U^{†} {\hat{S}}_{y} U = {\hat{S}}_{z} \\ {\hat{S}}_{z}^{'} & = U^{†} {\hat{S}}_{z} U = {\hat{S}}_{y} . \end{aligned} \end{matrix}

则

[{\hat{S}}_{y}^{'}, {\hat{S}}_{z}^{'}] = i {\hat{S}}_{x}^{'} = [{\hat{S}}_{z}, {\hat{S}}_{y}] = - i {\hat{S}}_{x}

，所以

{\hat{S}}_{x}^{'} = - {\hat{S}}_{x}

。

　　于是

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} e^{i {\hat{S}}_{y}^{'} ϕ} {\hat{S}}_{x}^{'} e^{- i {\hat{S}}_{y}^{'} ϕ} & = - e^{i {\hat{S}}_{z} ϕ} {\hat{S}}_{x} e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} \\ = - \cos ϕ {\hat{S}}_{x} + \sin ϕ {\hat{S}}_{y} \\ = \cos ϕ {\hat{S}}_{x}^{'} + \sin ϕ {\hat{S}}_{z}^{'} \\ e^{i {\hat{S}}_{y}^{'} ϕ} {\hat{S}}_{z}^{'} e^{- i {\hat{S}}_{y}^{'} ϕ} & = e^{i {\hat{S}}_{y} ϕ} {\hat{S}}_{x} e^{- i {\hat{S}}_{z} ϕ} \\ = \cos ϕ {\hat{S}}_{y} + \sin ϕ {\hat{S}}_{x} \\ = \cos ϕ {\hat{S}}_{z}^{'} - \sin ϕ {\hat{S}}_{x}^{'} . . \end{aligned} \end{matrix}

因此期望值的变化为

\begin{matrix} (15) & (\begin{matrix} ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩ \end{matrix}) \to (\begin{matrix} \cos ϕ & 0 & \sin ϕ \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin ϕ & 0 & \cos ϕ \end{matrix}) (\begin{matrix} ⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩ \\ ⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩ \end{matrix}) . \end{matrix}

同理可证

x

轴的情况。因此，自旋态矢 “旋转” 与自旋期望值变化的关系为：

\begin{matrix} (16) & | a ⟩ \to e^{- i {\hat{S}}_{k} ϕ} | a ⟩, ⟨ {\hat{S}}_{i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{3} (e^{- {\hat{J}}_{k} ϕ})_{j}^{i} ⟨ {\hat{S}}_{j} ⟩ . \end{matrix}

自旋进动

　　假设电子处在 $z$ 轴指向的匀强磁场内，其自旋磁矩为总自旋 $S$ ，质量为 $m$ ，则哈密顿算符为

\begin{matrix} (17) & \hat{H} = - \frac{e}{m c} \hat{S} \cdot B = - \frac{e}{m c} {\hat{S}}_{z} B_{z} \equiv ω {\hat{S}}_{z}, \end{matrix}

其中

ω = - \frac{e}{m c} B_{z}

。

　　以 $0$ 时刻作为初始时刻。显然，经历过若干时间 $t$ 后，时间演化算符为 $\hat{U} (t) = e^{- i \hat{H} t} = e^{- i {\hat{S}}_{z} ω t}$ ，我们可以把这看作自旋态矢的特殊 “旋转”。用 $ω t$ 代替上一节的 $ϕ$ 便可得到期待值的演化。下标 $0$ 和 $t$ 分别代表初始时刻和 $t$ 时刻，则自旋演化为

\begin{matrix} (18) & | a ⟩ \to e^{- i {\hat{S}}_{k} ω t} | a ⟩, {⟨ {\hat{S}}_{i} ⟩}_{t} = \sum_{i = 1}^{3} (e^{- {\hat{J}}_{k} ω t})_{j}^{i} {⟨ {\hat{S}}_{j} ⟩}_{0} . \end{matrix}