贡献者： zhousiyi
在海森堡绘景下，算符 $\phi$ 和 $\pi$ 对时间的依赖关系为
\begin{equation}
\phi(x) = \phi(\mathbf x, t) = e^{i H t}\phi(\mathbf x)e^{-iHt}~.
\end{equation}
运动方程为
\begin{equation}
i \frac{\partial}{\partial t}\mathcal O = [\mathcal O, H]~.
\end{equation}
由此我们可以计算出 $\phi$ 和 $\pi$ 的时间依赖
\begin{equation}
\begin{aligned}
i \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x,t) & = \bigg[\phi(\mathbf x,t),\int d^3 x' \bigg\{ \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf x',t) + \frac{1}{2} (\nabla \phi(\mathbf x',t))^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2(\mathbf x',t) \bigg\}\bigg] \\
& = \int d^3 x' \bigg(i \delta^{(3)} (\mathbf x - \mathbf x') \pi(\mathbf x',t) \bigg) \\
& = i \pi (\mathbf x, t)~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
i\frac{\partial}{\partial t} \pi(\mathbf x, t) & = \bigg[ \pi(\mathbf x,t), \int d^3 x' \bigg\{ \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf x', t) + \frac{1}{2} \phi(\mathbf x, t) (-\nabla^2 + m^2 ) \phi(\mathbf x', t) \bigg\} \bigg] \\
& = \int d^3 x' \bigg( - i \delta^{(3)} (\mathbf x - \mathbf x') (-\nabla^2+m^2) \phi(\mathbf x',t) \bigg)~.
\end{aligned}
\end{equation}
综上我们可以得知
\begin{equation}
\frac{\partial^2}{\partial t^2} \phi = (\nabla^2 - m^2)\phi~.
\end{equation}
这就是著名的克莱因-戈登方程。
我们可以把 $\phi$ 场和 $\pi$ 场用产生湮灭算符表示出来。首先我们可以写出
\begin{equation}
H a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p} (H - E_{\mathbf p})~.
\end{equation}
因此
\begin{equation}
H^n a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p} (H - E_{\mathbf p})^n~.
\end{equation}
于是我们可以推出
\begin{equation}
e^{iHt} a_{\mathbf p} e^{-iHt} = a_{\mathbf p} e^{-i E_{\mathbf p}t}~, \quad e^{iHt} a^\dagger_{\mathbf p} e^{-iHt} = a^\dagger_{\mathbf p} e^{iE_{\mathbf p}t} ~.
\end{equation}
之后我们可以用产生湮灭算符来表示 $\pi$ 场和 $\phi$ 场，结果是
\begin{equation}
\phi(\mathbf x,t)= \int \frac{d^3 p }{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}} (a_{\mathbf p} e^{-i p \cdot x} + a^\dagger_{\mathbf p} e^{i p \cdot x}) \bigg|_{p^0 = E_{\mathbf p}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\pi(\mathbf x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x, t)~.
\end{equation}
我们对于动量算符 $\mathbf P$ 也可以进行同样的操作。我们可以证明
\begin{equation}
e^{-i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}} a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}}=a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}, \quad e^{-i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}} a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}}=a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}~.
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi(x) &=e^{i(H t-\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})} \phi(0) e^{-i(H t-\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})} \\
&=e^{i P \cdot x} \phi(0) e^{-i P \cdot x}~,
\end{aligned}
\end{equation}
这里 $P^\mu = (H,\mathbf P)$。
现在来说一下式 9 的物理解释。$e^{-i p^0 t}$ 是正频模。$e^{+i p^0 t}$ 是负频模。正频模的系数是湮灭算符，能够消灭一个粒子。负频模的系数是产生算符，能够产生一个粒子。