粒子产生

贡献者： zhousiyi; addis

　　考虑克莱因-戈登场与一个外部的，经典的源 $j (x)$ .考虑场方程

\begin{matrix} (1) & (\partial^{2} + m^{2}) ϕ (x) = j (x), \end{matrix}

j (x)

是源。这个方程是由拉式量推出来的。拉式量为

\begin{matrix} (2) & L = \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ)^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} + j (x) ϕ (x), \end{matrix}

这里源

j (x)

只持续一段时间。

\begin{matrix} (3) & ϕ_{0} (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}) . \end{matrix}

在有源的情况下，式 1 的解为：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ϕ (x) & = ϕ_{0} (x) + i \int d^{4} y D_{R} (x - y) j (y) \\ = ϕ_{0} (x) + i \int d^{4} y \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} θ (x^{0} - y^{0}) \\ \times (e^{- i p \cdot (x - y)} - e^{i p \cdot (x - y)}) j (y) . \end{aligned} \end{matrix}

这时候

ϕ (x)

只与

j

的傅立叶变换有关。

\begin{matrix} (5) & \tilde{j} (p) = \int d^{4} y e^{i p \cdot y} j (y) . \end{matrix}

式 4 整理一下可得

\begin{matrix} (6) & ϕ (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} {(a_{p} + \frac{i}{\sqrt{2 E_{p}}} \tilde{j} (p)) e^{- i p \cdot x} + h.c.} . \end{matrix}

哈密顿量为

\begin{matrix} (7) & H = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} E_{p} (a_{p}^{†} - \frac{i}{\sqrt{2 E_{p}}} {\tilde{ȷ}}^{*} (p)) (a_{p} + \frac{i}{\sqrt{2 E_{p}}} \tilde{ȷ} (p)) . \end{matrix}

源关闭之后，系统的能量为

\begin{matrix} (8) & ⟨ 0 | H | 0 ⟩ = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2} | \tilde{ȷ} (p) |^{2} . \end{matrix}

© 小时科技保留一切权利