狄拉克场的量子化

贡献者： zhousiyi; addis

　　现在我们来构造自由狄拉克场的量子理论。我们从如下的拉式量出发

\begin{matrix} (1) & L = \bar{ψ} (i \partial / - m) ψ = \bar{ψ} (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ, \end{matrix}

ψ

的共轭动量是

i ψ^{†}

,因此哈密顿量为

\begin{matrix} (2) & H = \int d^{3} x \bar{ψ} (- i γ \cdot \nabla + m) ψ = \int d^{3} x ψ^{†} [- i γ^{0} γ \cdot \nabla + γ^{0}] ψ . \end{matrix}

定义

α = γ^{0} γ

β = γ^{0}

, 你们可以认出括号内的量就是单粒子量子力学的狄拉克哈密顿量

\begin{matrix} (3) & h_{D} = - i α \cdot \nabla + m β . \end{matrix}

1. 错误的量子化狄拉克场的方法

　　我们首先尝试下面的量子化狄拉克场的办法

\begin{matrix} (4) & [ψ_{a} (x), ψ_{b}^{†} (y)] = δ^{(3)} (x - y) δ_{a b} . (e q u a l t i m e s) . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & [i γ^{0} \partial_{0} + i γ \cdot \nabla - m] u^{s} (p) e^{- i p \cdot x} = 0 . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & ψ (x) = \int \frac{d^{3} x}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} e^{i p \cdot x} \sum_{s = 1, 2} (a_{p}^{s} u^{s} (p) + b_{- p}^{s} v^{s} (- p)) . \end{matrix}