贡献者： 叶月2_; addis
未完成：需新增条目：流形上的定向
假设现在我们有一 $n$ 维光滑流形 $M$，超平面则是其余维数为 1 的子流形。为了得到超平面上的定向，我们首先需要设计一种能把 $n$ 形式映射到超平面上 $n-1$ 形式的方法。缩并映射就是符合我们需求的线性映射。
1. 缩并
定义 1
设 $V$ 为有限维线性空间，$X\in V$，定义线性映射 $i_X:\Gamma^n V\rightarrow\Gamma^{n-1}V$，使得1
\begin{equation}
i_X\omega(Y_1,\ldots,Y_{k-1})=\omega(X,Y_1,\ldots,Y_{k-1})~,
\end{equation}
则称 $i_X$ 为内乘或缩并映射（interior multiplication or contraction），有时为了表示简洁，也用 $X\lrcorner$ 表示。
其线性是显而易见的，我们还可以证明缩并映射满足以下性质：
引理 1
$x\in V$，$V$ 为有限维线性空间，则
- $i_X\circ i_X=0$.
- $i_X$ 有与外代数类似的反对称性质。若 $\omega$ 是 $k$ 阶余切向量，$\eta$ 是 $l$ 阶余切向量，则
\begin{equation}
i_X(\omega\wedge\eta)=(i_X\omega)\wedge\eta+(-1)^k\omega\wedge(i_X\eta)~.
\end{equation}
证明：
第一条利用交错张量的性质即可得。
对于第二条，令 $\omega=\omega_1\wedge...\omega_k$，$\eta=\eta_1\wedge...\eta_l$。那么下式可以保证式 2 成立：
\begin{equation}
\begin{aligned}
i_X(\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^k)=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}\omega^i(X)\omega^1\wedge\cdots\wedge\hat{\omega}^i\wedge\cdots\wedge\omega^k~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\hat\omega^i$ 表示排列中已删掉 $\omega_i$。
因为如果
式 3 成立，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
i_X(\omega\wedge\eta)&=i_X(\omega^1\wedge...\wedge\omega^k\wedge\eta^1\wedge...\wedge\eta^l)\\
&=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}\omega^{i}(X)\omega^1\wedge...\wedge\hat\omega^i\wedge...\wedge\omega^k\wedge\eta^1\wedge...\wedge\eta^i\wedge...\wedge\eta^l\\
&+(-1)^k\sum_{i=1}^l(-1)^{i-1}\eta^{i}(X)\omega^1\wedge...\wedge\omega^k\wedge\eta^1\wedge...\wedge\hat\eta^i\wedge...\wedge\eta^l~,
\end{aligned}
\end{equation}
整理一下即为
式 2 。
现在证明式 3 确实成立。
设 $X_i\in V,X=X_1$。两边同时作用 $(X_2,X_3...X_k)$，则有
\begin{equation}
i_X(\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^k)(X_2,X_3...X_k)=\omega^1\wedge\cdots\wedge\omega^k(X,X_2...X_k)~.
\end{equation}
由外代数定义可知，上式结果为行列式，$i$ 行 $j$ 列的矩阵元为 $\omega^i(X_j)$，设对应的矩阵为 $M$。现在我们再来看
式 3 右侧，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} \omega^i(X) \omega^1 \wedge \cdots \wedge \hat{\omega}^i \wedge \cdots \wedge \omega^k(X_2,...X_k)=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} \omega^i(X) \operatorname {det}X^i_j~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \operatorname {det}X^i_j$ 赫然是 $M$ 中去掉 $i$ 行 $1$ 列的行列式，整个式子为 $M$ 的代数余子式展开，于是得证。
2. 诱导超平面的定向
未完成：……
1. ^ 因为微分形式有两种定义，因此缩并的另一种定义是：$\overline{i}_X\omega(Y_1,\ldots,Y_{k-1})=k\omega(X,Y_1,\ldots,Y_{k-1}).$