超平面的定向

贡献者：叶月2_; addis

预备知识　外导数

未完成：需新增条目：流形上的定向

假设现在我们有一

n

维光滑流形

M

，超平面则是其余维数为 1 的子流形。为了得到超平面上的定向，我们首先需要设计一种能把

n

形式映射到超平面上

n - 1

形式的方法。缩并映射就是符合我们需求的线性映射。

1. 缩并

　　设 $V$ 为有限维线性空间， $X \in V$ ，定义线性映射 $i_{X} : Γ^{n} V \to Γ^{n - 1} V$ ，使得¹

\begin{matrix} (1) & i_{X} ω (Y_{1}, \dots, Y_{k - 1}) = ω (X, Y_{1}, \dots, Y_{k - 1}), \end{matrix}

则称

i_{X}

为内乘或缩并映射（interior multiplication or contraction），有时为了表示简洁，也用

X ⌟

表示。

　　其线性是显而易见的，我们还可以证明缩并映射满足以下性质：

　　 $x \in V$ ， $V$ 为有限维线性空间，则

$i_{X} \circ i_{X} = 0$ .
$i_{X}$ 有与外代数类似的反对称性质。若 $ω$ 是 $k$ 阶余切向量， $η$ 是 $l$ 阶余切向量，则
$\begin{matrix} (2) & i_{X} (ω \land η) = (i_{X} ω) \land η + (- 1)^{k} ω \land (i_{X} η) . \end{matrix}$

　　 证明：

　　第一条利用交错张量的性质即可得。

　　对于第二条，令 $ω = ω_{1} \land . . . ω_{k}$ ， $η = η_{1} \land . . . η_{l}$ 。那么下式可以保证式 2 成立：

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} i_{X} (ω^{1} \land \dots \land ω^{k}) = \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i - 1} ω^{i} (X) ω^{1} \land \dots \land {\hat{ω}}^{i} \land \dots \land ω^{k}, \end{array} \end{matrix}

其中

{\hat{ω}}^{i}

表示排列中已删掉

ω_{i}

。因为如果式 3 成立，则

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} i_{X} (ω \land η) & = i_{X} (ω^{1} \land . . . \land ω^{k} \land η^{1} \land . . . \land η^{l}) \\ = \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i - 1} ω^{i} (X) ω^{1} \land . . . \land {\hat{ω}}^{i} \land . . . \land ω^{k} \land η^{1} \land . . . \land η^{i} \land . . . \land η^{l} \\ + (- 1)^{k} \sum_{i = 1}^{l} (- 1)^{i - 1} η^{i} (X) ω^{1} \land . . . \land ω^{k} \land η^{1} \land . . . \land {\hat{η}}^{i} \land . . . \land η^{l}, \end{aligned} \end{matrix}

整理一下即为式 2 。

　　现在证明式 3 确实成立。

　　设 $X_{i} \in V, X = X_{1}$ 。两边同时作用 $(X_{2}, X_{3} . . . X_{k})$ ，则有

\begin{matrix} (5) & i_{X} (ω^{1} \land \dots \land ω^{k}) (X_{2}, X_{3} . . . X_{k}) = ω^{1} \land \dots \land ω^{k} (X, X_{2} . . . X_{k}) . \end{matrix}

由外代数定义可知，上式结果为行列式，

i

行

j

列的矩阵元为

ω^{i} (X_{j})

，设对应的矩阵为

M

。现在我们再来看式 3 右侧，

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i - 1} ω^{i} (X) ω^{1} \land \dots \land {\hat{ω}}^{i} \land \dots \land ω^{k} (X_{2}, . . . X_{k}) = \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i - 1} ω^{i} (X) \det X_{j}^{i}, \end{array} \end{matrix}

其中

\det X_{j}^{i}

赫然是

M

中去掉

i

行

1

列的行列式，整个式子为

M

的代数余子式展开，于是得证。

未完成：……

1. ^ 因为微分形式有两种定义，因此缩并的另一种定义是： ${\overset{―}{i}}_{X} ω (Y_{1}, \dots, Y_{k - 1}) = k ω (X, Y_{1}, \dots, Y_{k - 1}) .$