贡献者： 叶月2_
注：为方便计，本篇采取爱因斯坦求和约定。即 $a^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=a^1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1+a^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2+...$
1. 线性映射及其矩阵表示
$V$ 和 $W$ 是域 $\mathbb F$ 上的两个线性空间。若映射 $f:V\rightarrow W$ 保加法和数乘运算（即 “线性”），即对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V,,a,b\in\mathbb F$ 有：
\begin{equation}
f(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )=af( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+bf( \boldsymbol{\mathbf{y}} )
~,\end{equation}
则称 $f$ 是
线性映射（linear map），以 $\mathcal L(V,W)$ 表示所有 $V\rightarrow W$ 上的线性映射。可以验证，该集合是一个线性空间。一般称 $f\in \mathcal L(V,V)$ 为
为线性变换（linear transformation），全体
可逆线性变换用 $GL(V)$ 表示。
由于矩阵对向量作用，也是保线性运算不变的，因此矩阵和映射之间可以一一对应起来。矩阵的乘法就是映射的复合。
具体怎么对应呢，设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 为 $V$ 上的一组基，$f\in\mathcal L(V,W)$，其矩阵表示为 $M$1。对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$ 有：
\begin{equation}
f(a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=m^j_i a^i~.
\end{equation}
因此，矩阵的第 $i$ 列是 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$。选定 $W$ 的一组基，那么 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$ 总可以表示为 $W$ 里基向量的线性组合。
例 1
$\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2\}$ 是 $V$ 上的一组基，$\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _1, \boldsymbol{\mathbf{y}} _2, \boldsymbol{\mathbf{y}} _3\}$ 为 $W$ 上的一组基。线性映射 $f:V\rightarrow W$ 对基向量的作用为：$f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _2+ \boldsymbol{\mathbf{y}} _3\,,f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)=2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _1-3 \boldsymbol{\mathbf{y}} _3$，则有
\begin{equation}
f(2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1- \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)=-2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _1+4 \boldsymbol{\mathbf{y}} _2+5 \boldsymbol{\mathbf{y}} _3~,
\end{equation}
其矩阵表示为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0& 2\\
2& 0\\
1 &-3
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
2 &-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2 \\
4\\
5
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
2. 矩阵的坐标变换
在矩阵论里，我们已经学过用相似变换得到线性变换在不同基下的表示。现在用矩阵表示不同线性空间之间的线性映射，我们依然可以得到矩阵在不同基下的表示。
设 $V,W$ 的旧基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$；新基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$；$f:V\rightarrow W$ 在旧基下的表示为 $M$，在新基下的表示为 $N$；从 $V$ 的旧基到其新基的过渡矩阵为 $Q$，$W$ 的则为 $S$。现在推导 $M,N$ 的联系。
对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =b^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\in V$，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(b^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)&=b^if( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\\
&=b^iN^j_i \boldsymbol{\mathbf{y}} _j\\
&=b^iN^j_iS^a_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _a~,
\end{aligned}
\end{equation}
由于对于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$ 有：$ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=Q_i^q \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，代入第一行，则得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
b^if( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)&=b^if(Q_i^q \boldsymbol{\mathbf{e}} _q)\\
&=Q_i^qb^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _q)\\
&=Q_i^qb^iM^a_q \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _a~.
\end{aligned}
\end{equation}
$b^i\theta_a$ 前的系数必相等，综合
式 5 得：
\begin{equation}
SN=MQ~,
\end{equation}
即 $N=S^{-1}MQ$。
3. 线性映射的核与象
定义 1
设 $V,W$ 为域 $\mathbb F$ 上的线性空间，$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。
记 $ \operatorname {ker}f=\{\boldsymbol x\in V|f(\boldsymbol x)=\boldsymbol 0\}$，称作线性映射 $f$ 的核（kernel）。记 $ \operatorname {Im}f=\{f(\boldsymbol x)|\boldsymbol x\in V\}$，称作线性映射 $f$ 的象（image）
习题 1
$f,V,W$ 的定义同上。验证核与象分别是 $V$ 及 $W$ 的子空间。
关于核与象，有两个好用的结论。
- 核 $ \operatorname {ker}f=\{\boldsymbol 0\}\Longleftrightarrow f$ 是单射。
- 若象 $ \operatorname {Im}f=W\Longleftrightarrow f$ 是满射
在此只证明第一个结论。
proof.
先验证充分条件。反证该映射并非单射，及至少存在两个向量映射到同一个向量，设为 $\boldsymbol{x,y}$，那么我们有
\begin{equation}
f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})=f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)=\boldsymbol 0~,
\end{equation}
由于核只有向量 $0$，因此 $\boldsymbol {x}=\boldsymbol{y}$
再验证必要条件。假设存在一个非 $0$ 向量映射到 $0$，即 $f(a^i\boldsymbol x_i)=0$，则 $-f(a^i\boldsymbol x_i)=f(-a^i\boldsymbol x_i)=0$，与假设矛盾，证毕。
可见，第一条结论能成立多亏了该同态映射是线性的，这也是线性空间的一个好处。
线性空间的向量构成加法群，因而也有同态定理：
定理 1
设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的有限维线性空间。$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。则有：
\begin{equation}
V/ \operatorname {ker}f\cong \operatorname {Im} f~,
\end{equation}
Proof.
由于有限维线性空间的同构只需要维度相同，所以我们只需要构建基之间的映射即可。
设 $\{\boldsymbol e_i\}$ 为 $ \operatorname {ker}f$ 上的一组基，扩充为 $V$ 上全空间的基：$\{\boldsymbol e_i\}\cup \{\boldsymbol \theta_i\}$。由于核中元素都被映射为 0.只要证明象的维度与 $|\{\boldsymbol \theta_i\}|$ 一致即可。由于 $f(a^i\boldsymbol e_i+b^i\boldsymbol \theta_i)=b^if(\boldsymbol \theta_i)$,而 $f(\boldsymbol \theta_i)$ 是线性无关的，不然 $ \operatorname {span}\{\boldsymbol \theta_i\}$ 就会有 $ \operatorname {ker}f$ 的元素，与假设矛盾。证毕。
该证明同时也引出了以下定理：
引理 1
对于线性空间 $V$ 和其上的线性映射 $f$,我们有
\begin{equation}
\mathrm{dim}V=\mathrm{dim}\, \operatorname {ker}f+\mathrm {dim}\, \operatorname {Im}f~,
\end{equation}
利用该定理，我们可以证明一条关于秩的定理：
定理 2
给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$，若 $AB=0$，我们有
\begin{equation}
rank\,A+rank\,B\le n~,
\end{equation}
proof.
设 $A,B$ 对应线性空间 $V$ 的线性变换为 $f_A,f_B$，该定理又可理解为 $ \operatorname {Im}f_A+ \operatorname {Im}f_B\le n$。
$AB=0$ 意味着 $ \operatorname {Im}f_B\le \operatorname {ker}f_A$，由定理 2 得：$ \operatorname {ker}f_A=n- \operatorname {Im}f_A$，移项证毕。
4. 矩阵的秩
由前文知，若 $f$ 是一个把 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性映射，那么该线性映射可以表示为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。由于象的维度=矩阵的列秩=行秩，因此线性映射的性质与矩阵的行向量组、列向量组的秩紧密关联。
定理 3
$f:V\rightarrow W$，对应 $x\rightarrow Ax$。则：
- $f$ 是单射 $\Leftrightarrow\,A$ 的列向量组线性无关。
- $f$ 是满射 $\Leftrightarrow\,A$ 的行向量组线性无关。
- $f$ 是双射 $\Leftrightarrow\,A$ 是可逆矩阵。
proof.
设 $ \operatorname {dim}V=n, \operatorname {dim}W=m$，${ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i}$ 为 $V$ 的一组基，任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$，则：
$f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {ker}f=0\Leftrightarrow a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 只有零解 $\Leftrightarrow a^i=0$，得证。
$f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {dim} \operatorname {Im}f=m\Leftrightarrow$ 行秩为 $m$，得证。
结合上述两点可证第三点。
1. ^ $m^i_j$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元