贡献者： addis; ACertainUser
1克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为系数矩阵。当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $N\times N$ 的方阵且行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \ne 0$ 时（即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是满秩
矩阵），方程有唯一解（见 “
线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默法则直接写出：
\begin{equation}
x_i = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _i \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots, N)~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _i$ 是把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 而来。
例 1 解方程组
令式 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} $，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} $，求解方程组。
解：$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = 7$，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \right\rvert = \begin{vmatrix}4 & 1\\ 5 & 3\end{vmatrix} = 7$，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _2 \right\rvert = \begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 14$。代入式 2 得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} $。
在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵会更快。
1. 证明
以下证明2以三阶矩阵为例，但可以方便地推广至任意阶矩阵。
定义伴随矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^*=
\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&A_{31}\\
A_{12}&A_{22}&A_{32}\\
A_{13}&A_{23}&A_{33}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
其中 $A_{ij}$ 称为
代数余子式，$A_{ij}$ 可以理解为去掉第 i 行与第 j 列的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$。
根据行列式的定义，可以得出 $\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13}$。（可以沿任意行、列展开，例如 $\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = A_{11}a_{11}+A_{21}a_{21}+A_{31}a_{31}$）
同时，伴随矩阵有一重要性质 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = \det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} $。
先证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = \det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} ~,$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* &=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&A_{31}\\
A_{12}&A_{22}&A_{32}\\
A_{13}&A_{23}&A_{33}\\
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13}&A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13}&A_{31}a_{11}+A_{32}a_{12}+A_{33}a_{13}\\
A_{11}a_{21}+A_{12}a_{22}+A_{13}a_{23}&A_{21}a_{21}+A_{22}a_{22}+A_{23}a_{23}&A_{31}a_{21}+A_{32}a_{22}+A_{33}a_{23}\\
A_{11}a_{31}+A_{12}a_{32}+A_{13}a_{33}&A_{21}a_{31}+A_{22}a_{32}+A_{23}a_{33}&A_{31}a_{31}+A_{32}a_{32}+A_{33}a_{33}\\
\end{pmatrix}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中
$A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13}$，即为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式；
而
$A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13}$，即相当于（沿第二行）计算
$\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
\end{pmatrix}$
的行列式，因此 $A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13}=0$。
类似地，可以推知
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* =
\begin{pmatrix}
\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&0&0\\
0&\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&0\\
0&0&\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\
\end{pmatrix}
=\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} ~.
\end{equation}
再证明 $x_i={\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} _i)}/{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} &= \frac{1}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* \boldsymbol{\mathbf{b}} =
\frac{1}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}
\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&A_{31}\\
A_{12}&A_{22}&A_{32}\\
A_{13}&A_{23}&A_{33}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}
\begin{pmatrix}
A_{11}b_1+A_{21}b_2+A_{31}b_3\\
A_{12}b_1+A_{22}b_2+A_{32}b_3\\
A_{13}b_1+A_{23}b_2+A_{33}b_3\\
\end{pmatrix}~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
x_1=\frac{1}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}(A_{11}b_1+A_{21}b_2+A_{31}b_3)
=\frac{1}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}\det
\begin{pmatrix}
b_{1}&a_{12}&a_{13}\\
b_{2}&a_{22}&a_{23}\\
b_{3}&a_{32}&a_{33}\\
\end{pmatrix}
=\frac{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} _1)}{\det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}~,
\end{equation}
同理可证 $x_2, x_3,...$。证毕。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考了 J. Leon 的 Linear Algebra with Applications