贡献者： Giacomo
未完成：增加线性代数的预备知识
1. 一般欧几里得空间中曲线的概念
把 $\mathbb{R}^n$ 视作一个向量空间，任意取定一个坐标系（等价于向量空间的一组基），我们可以把向量值函数 $f$ 分为 $n$ 个标量值函数，简称为 $f$ 的分量。
定义 1 参数曲线
令 $I = (a, b)$ 是实数轴 $\mathbb{R}$ 上的一个开区间，则称连续函数$f:I\to \mathbb{R}^n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一条（连通的）参数曲线（curve）（若 $I = [a, b]$ 是一个闭区间则称 $f$ 为从 $f(a)$ 到 $f(b)$ 的道路（path）），$f$ 的值域 $f(I) \subseteq \mathbb{R}^n$ 被称为参数曲线的轨迹。此处连续是指函数的 $n$ 个分量都是 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的连续函数。如果 $f$ 是一个单射，则被称为简单参数曲线。
你可能自然会想确认，由 $f$ 的分量定义的连续性，和取定坐标系的方式是否有关？答案是无关的。我们可以用另一种方式来理解此处的 “连续”：取集合 $I$ 与 $\mathbb{R}^n$，配上通常的拓扑——即 $I$ 取 $\mathbb{R}$ 的子拓扑，$\mathbb{R}^n$ 取 $\mathbb{R}$ 的乘积拓扑——所得到的拓扑空间，那么 $f$ 就是拓扑空间之间的映射，其连续性取决于拓扑意义上的连续性，和具体坐标系的选择就无关了。
要强调的一点是，即便两条参数曲线的轨迹一样，它们也不一定是同一条参数曲线。比如说，取 $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ 这两个函数，定义为 $f(t)= \begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} $ 和 $g(t)= \begin{pmatrix}\cos 2t\\\sin 2t\end{pmatrix} $，那么尽管它们的轨迹都是平面上的单位圆，但由于两条参数曲线的 “速度” 不一样，我们依然把它们认为是不同的参数曲线。
想要严格的定义 “速度” 我们需要更强大的结构：
定义 2 连续可微参数曲线
如果参数曲线 $f: I \to \mathbb{R}^n$ 对于任意分量都是连续可微的（即其导函数连续），那么称 $f$ 是一个连续可微参数曲线（differentiable curve）（$I$ 为闭曲线时称为连续可微道路（differentiable path）），也记为 $C^1$ 参数曲线。类似的我们可以定义 $p$ 阶连续可微参数曲线，也记为 $C^p$ 参数曲线。
同样地，$f$ 本身的连续可微性，和具体坐标系的选择也无关1。
定义 3 速度、速率、弧长
对于连续可微参数曲线 $f: I \to \mathbb{R}^n$，我们把 $t = t_0$ 时的速度（velocity）定义为向量 $f'(t_0)$，或者记做 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } f |_{t = t_0}$，把速度的模长 $\|f'(t_0)\|$ 称为 $t = t_0$ 时的速率（speed）；取闭区间 $[a, b] \subseteq I$，我们定义从 $f(a)$ 到 $f(b)$ 的弧长为 $\int_a^b \|f'(t)\| \,\mathrm{d}{t} $。
定义 4 常速率参数曲线
如果连续可微参数曲线 $f: I \to \mathbb{R}^n$ 每个点的速率是一个常数，那么称 $f$ 是一个常速率参数曲线。特别的我们把速率为 $1$ 的常速率参数曲线称为单位速率参数曲线，也称（以）弧长（为）参数（的）曲线，此时我们常用 $s$ 来代替参数 $t$。
$p$ 可以推广到无限，即：
定义 5 光滑参数曲线
如果参数曲线 $f: I \to \mathbb{R}^n$ 对于任意分量都是光滑的，那么称 $f$ 是一个光滑参数曲线（smooth curve）（$I$ 为闭曲线时称为光滑道路（smooth path）），有时也记为 $C^\infty$ 的参数曲线。
和上述坐标变换的讨论类似，可证明光滑参数曲线的光滑性不依赖于坐标系的选择。等价的，光滑参数曲线是任意阶连续可微参数曲线。
除了参数曲线之外，我们还可以定义曲线为 $\mathbb{R}^n$ 的子集。我们可以把曲线理解成参数曲线的轨迹，但需要一些额外的要求。
定义 6 曲线
如果 $\mathbb{R}^n$ 的子集 $C$ 满足对 $C$ 上任意一点 $p$，存在点 $p$ 的一个（足够小的）开邻域 $U \subseteq \mathbb{R}^n$，使得 $C \cap U$ 是一条简单参数曲线的轨迹，那么 $C$ 就被称为 $\mathbb{R}^n$ 上的一条曲线。如果参数曲线是连续可微的/光滑的而且速度处处不为零，那么我们就称之为连续可微的/光滑曲线，有时也简称为曲线。在微分几何中，我们一般要求曲线是连通的。
在不会引起误解的情况下，我们也会把参数曲线简称为曲线，读者需要依凭上下文进行判断它到底是一个映射还是一个子集。
1. ^ 由于 “微分” 这一概念是实数空间特有的，我们没法像前面一样直接用拓扑的概念绕过坐标系的选择；证明这一点的思路也可以应用到之前对一般参数曲线的讨论上去：考虑变换坐标系后各点的变换，会发现变换后的分量就是过渡矩阵乘以原先的函数列矩阵，也就是说，变换坐标后新的函数分量，是旧分量的某种线性组合。这样一来，变换前连续可微当且仅当变换后也连续可微，从而可知和变换无关。