贡献者： fengdalizzz; addis
一般霍尔效应的产生需要磁场，并且满带不出现霍尔效应。但是反常霍尔效应不需要这些条件。反常霍尔效应的产生目前还没有定论，只有几种理论解释，我们现在来介绍最基础的，也是最早的内禀反常霍尔效应。
1. 介绍
我们知道一个布洛赫态可以写成：
\begin{equation}
\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~,
\end{equation}
其哈密顿量为：$\hat H_0=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，对应的能量是 $E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$。其中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个周期函数，有 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} )=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是任意一个格矢。
2. 深入
外力作用下哈密顿量变成 $\hat H =\hat H_0 - \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $，则 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时间后，布洛赫态变成：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \,\mathrm{d}{t} )&= \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} \,\hat H\, \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \approx \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\frac{ \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}(\hat H_0 - \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }\\
&=(1- \mathrm{i} \frac{E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}+ \mathrm{i} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }
\approx \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
在推导电子运动的准经典模型时，我们忽略了 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 到 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}$ 之间的变化（包络近似），从而得出了 $d \boldsymbol{\mathbf{k}} =\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}$ 的结论。现在我们不忽略它的变化，从而推导出反常霍尔效应来。
有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \,\mathrm{d}{t} )&\approx \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }\\
&= \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} }+u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} })\\
&= \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} }- \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} }-u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} })\\
&= \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} }\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}- \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar})\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u\cdot \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} )\\
&\approx \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} }\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}- \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u\cdot \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 表示函数 $u$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 空间的梯度。最后一条等式的前一项即为经典理论的结果，后一项的导出只保留了 $ \,\mathrm{d}{t} $ 的一阶小量。
3. $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 的形式
现在我们来研究一下 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$。由上可知，有：
\begin{equation}
\hat H_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
=E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
所以有：
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \hat H_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
=E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
即 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } = \mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \hat H_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 的本征函数是 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。代入 $\hat H_0 =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，对于任意一个函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，即有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&= \mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(-\frac{h^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\\
&=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+ \mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(-\frac{\hbar^2}{2m})\nabla(i \boldsymbol{\mathbf{k}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ))\\
&=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+ \mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(-\frac{\hbar^2}{2m})(-k^2 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }+2i \boldsymbol{\mathbf{k}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }\nabla^2 f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ))\\
&=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )-\frac{\hbar^2}{2m}(-k^2+2i \boldsymbol{\mathbf{k}} \nabla+\nabla^2)f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{aligned}
\end{equation}
即 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的具体形式为
\begin{equation}
\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } =\frac{\hbar^2}{2m}(-i\nabla+ \boldsymbol{\mathbf{k}} )^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
当 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 变化 $\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 时，即有：
\begin{equation}
\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} } =\frac{\hbar^2}{2m}(-i\nabla+ \boldsymbol{\mathbf{k}} )^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+\frac{\hbar^2}{2m}(( \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })^2-k^2)+\frac{\hbar}{m}\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot(-i\hbar \nabla)~.
\end{equation}
等式右边第 1、2 项即为原先的 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$, 第 3、4 项可以视为微扰。其中第 3 项是能量微扰项，不作用在波函数上，第四项为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 微扰项，与动量相关（此处还说明了晶格动量 $\hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 与电子动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 不是同一个东西）。
$\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的本征态是不同 $n$ 的 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$，不同的 $n$ 之间的能级差较大，所以可以用非简并微扰来求解 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的本征态，即：
\begin{equation}
u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+\frac{\hbar}{m}\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot\sum_{l\neq n}\frac{ \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat { \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }{E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }}u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
因为 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} }=u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }+\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$，所以我们就终于得出了 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 的具体形式，即：
\begin{equation}
\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u = \frac{\hbar}{m}\sum_{l\neq n}\frac{ \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat { \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }{E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }}u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
4. 不含包络近似的解
将式 10 代回到最开始的式 3 ，即有：
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \,\mathrm{d}{t} )\approx \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} }\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )-\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m} \,\mathrm{d}{t} \cdot\sum_{l\neq n}\frac{ \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat { \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }{E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
因为 $\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m} \,\mathrm{d}{t} $ 是小量，我们再做一个类似于
式 3 最后化简时的把戏，将
式 11 改写成：
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \,\mathrm{d}{t} )\approx \mathrm{e} ^{-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \,\mathrm{d}{t} }\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )-\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m} \,\mathrm{d}{t} \cdot\sum_{l\neq n}\frac{ \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat { \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }{E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
由此可见，不使用包络近似下，外力作用会将不同的能带耦合起来，这将使布洛赫电子的运动有别于经典的运动。
当外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 很小时，$\psi$ 具有稳态解：
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t=\infty)\approx\psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }- \mathrm{i} \frac{\hbar}{m} \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot\sum_{l\neq n}\frac{ \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat { \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }{(E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} })^2}\psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~.
\end{equation}
现在我们可以来算速度了，根据隔壁量子力学的基础知识，有：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} =\frac{ \,\mathrm{d}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rangle } }{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} \left\langle [\hat{H},\hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }] \right\rangle =\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} \left\langle [\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )- \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ,\hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }] \right\rangle = \left\langle \hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} } \right\rangle /m~.
\end{equation}
继续忽略外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的高阶项，则：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \left\langle \hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} } \right\rangle /m=\frac{1}{m} \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle +\frac{ \mathrm{i} \hbar}{m^2}\sum_{l\neq n}\frac{1}{(E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} })^2}[( \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle ) \left\langle \psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle -( \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \left\langle u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle ) \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle ]~.
\end{equation}
对于 $ \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle (l\neq n)$，则将其展开，由于 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的正交性，有：
\begin{equation}
\left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle =\int \,\mathrm{d}{V} \ u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }(- \mathrm{i} \hbar\nabla)( \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} })= \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle ~.
\end{equation}
不妨记 $ \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{nl, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$. 而对于 $ \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $,注意到：
\begin{equation}
\left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle = \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} +\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle =\frac{m}{\hbar} \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert (\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\hat{H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}) \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle ~.
\end{equation}
并且：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\hat{H_ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle &= \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \middle| \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }(\hat{H_ \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }) \right\rangle - \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{H_ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\lvert \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle \\
&= \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \middle| \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }(E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }) \right\rangle -E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \middle| \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle \\
&=E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \middle| \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle + \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert {\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }-E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \middle| \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle \\
&= \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert {\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \left\lvert u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle }=\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
将
式 18 和
式 16 代回到
式 15 里，就有了一个简单的结果：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} &=\frac{1}{\hbar}\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }+\frac{ \mathrm{i} \hbar}{m^2}\sum_{l\neq n}\frac{1}{(E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} })^2}(( \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _{nl, \boldsymbol{\mathbf{k}} }) \boldsymbol{\mathbf{p}} _{ln, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-( \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _{ln, \boldsymbol{\mathbf{k}} }) \boldsymbol{\mathbf{p}} _{nl, \boldsymbol{\mathbf{k}} })\\
&=\frac{1}{\hbar}\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \boldsymbol\times \frac{\hbar^2}{m^2}\sum_{l\neq n} \mathrm{i} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{nl, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _{ln, \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{(E_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} })^2}\\
&=\frac{1}{\hbar}\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{\hbar} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中的 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 称为 Berry 曲率。
5. 性质与讨论
聪明的小伙伴一眼就能看出来了，等式右边第一项正是准经典模型中的电子的群速度，但后一项显然与外力的方向垂直。比如在均匀电场下，有：
\begin{equation}
\hbar\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }=-e \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\hbar\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }=\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }+e \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }~.
\end{equation}
电子的速度不再与电场平行。运动时，偏转的电子形成横向的电场来中和这一多出来的项，这就是反常霍尔效应，我们可以在介质表面测量出来这一横向电场对应的电压。
可以看出反常霍尔效应的产生依赖于 Berry 曲率不为零，而通过一些简单的计算就可以得出，如果晶体的晶胞（或者布里渊区）具有空间反演对称性（也就是 “中心对称”），或者时间反演对称性（也就是 “镜像对称”），则 Berry 曲率必定为零。而时间反演对称性的缺失通常意味着磁性，这就对应了最早发现的具有反常霍尔效应的材料是铁磁性材料。
这一理论的中心是外力作用下的不同能带的波函数耦合，它只考虑完美的晶体内部的能带结构，不需要考虑其他因素，故称为 “内禀反常霍尔效应”。有学者考虑了带有缺陷、杂质的晶体中的的反常霍尔效应，提出了外禀的霍尔效应——斜交散射机制（SkewScattering,SS）,以及侧越机制（Quantum side jump, SJ）。但关于反常霍尔效应的产生依旧没有定论。