贡献者： JierPeter
1. 极限换序
函数、数列等有多个自变量存在时，我们有可能会需要考虑多重极限。比如说对于一个二元函数 $f(x, y)$，设它的定义域是 $x>0, y>0$，那么我们如何计算 $x\to 0, y\to 0$ 时 $f$ 的极限值呢？我们可以用以下式子来计算：
\begin{equation}
\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)~.
\end{equation}
其中，对于任意 $y>0$，$f(x, y)$ 可以认为是关于 $x$ 的一元函数，这样我们就可以计算出 $\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$。对于每个 $y>0$，可以定义 $g(y)=\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$，因此对二元函数 $f$ 进行第一个求极限后，得到的是一个一元函数 $g$。这样，我们同样也能计算出 $\lim\limits_{y\to 0}g(y)$，这也就是式 1 .
从直观的几何角度来理解，$\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$ 就像是求出了 $y$ 轴上的一个函数，然后 $\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$ 就是这个函数的一个极限。
我们也可以反过来，用
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y)~
\end{equation}
来计算 $f$ 的二重极限，这个时候就相当于先求了 $x$ 轴上的一个函数，再求它的极限。
随之而来的问题是，式 1 和式 2 的值一样吗？换个说法就是，$f(x, y)$ 的二重极限可以交换次序吗？答案是 “不一定”，取决于函数的性质。例 1 就是一个反例。
例 1
考虑函数 $f(x, y)=x^y$。我们有：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)=0~
\end{equation}
和
\begin{equation}
\lim\limits_{y\to 0}f(x, y)=1~.
\end{equation}
这就导致
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)&=0\\
&\not = 1\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y)~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，对于这个 $f(x, y)$，极限是不可以随便换序的。
2. 一致收敛的极限换序
可以极限换序的函数，性质非常良好。一致收敛的函数列就拥有这个良好的性质。
定理 1
设在开区间 $(a, b)$ 上，函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛。如果对于每个 $n$，右极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 都存在，那么就有
\begin{equation}
\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)~.
\end{equation}
证明：
回顾一致收敛中提到的技巧，在研究和一致收敛相关的问题时，我们可以只考虑函数列收敛到 $f(x)=0$ 的情况。这是因为 $\{f_n(x)\}$（一致）收敛到 $f(x)$，等价于说 $\{f_n(x)-f(x)\}$ 一致收敛到 $0$。
$\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 关于编号 $n$ 构成一个数列；$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$ 是一个函数。我们首先要证明 $\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 收敛，这样才能保证 $\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 是有意义的。
首先定义 $f_n(a)=\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$。考虑一致收敛的柯西收敛原理定理 6 ，$f_n(x)$ 一致收敛意味着对于任意 $\epsilon>0$，存在 $N_\epsilon$，使得对于任意 $m, n>\epsilon$，恒有 $ \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert <\epsilon$。把每个 $ \left\lvert f_m(x)-f_n(x) \right\rvert $ 看作关于 $x$ 的一个函数，那么我们对它求极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}$，就可以得到 $ \left\lvert f_n(a)-f_m(a) \right\rvert <\epsilon$。这么一来，$f_n(a)$ 就是收敛的数列，进而式 6 左边是有意义的。
假设 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛到 $f(x)=0$，那么式 6 的右边就等于 $0$，接下来我们要证明左边也等于 $0$。
同样地，$f_n(x)$ 一致收敛意味着对于任意 $\epsilon>0$，存在 $N_\epsilon$，使得对于任意 $mn>\epsilon$，恒有 $ \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert <\epsilon$，因此 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert <\epsilon$。这也就是 $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$ 的定义，即式 6 左边也等于 $0$。
证毕。
例 2 极限不可以换序的反例
我们还是用
\begin{equation}
f_n(x)=x^n~
\end{equation}
在区间 $(0, 1)$ 上做例子。记其逐点连续为 $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 1^-}f_n(x)&=\lim\limits_{n\to\infty}1\\
&=1\\
&\not=0\\
&=\lim\limits_{x\to 1^-} 0\\
&=\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)\\
&=\lim\limits_{x\to 1^-}\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)~.
\end{aligned}
\end{equation}
定理 1 的一个推论是：
推论 1
设 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛到 $f$。如果各 $f_n$ 连续，那么 $f$ 也连续。
定理 2
在闭区间 $[a, b]$ 上，如果函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛到 $f(x)$，且各 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积，且有
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
即此时积分和极限也可以换序。
另外，如果令
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
F_n(x)&=\int_a^x f_n(t) \,\mathrm{d}{t} \\
F(x)&=\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
那么 $F_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上也一致收敛到 $F(x)$。
定理 3
设 $\{f_n(x)\}$ 在某点 $x_0\in [a, b]$ 处收敛。如果各 $f_n$ 在 $[a, b]$ 上都处处可导，且导函数列 $\{f'_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，那么 $\{f_n(x)\}$ 也在 $[a, b]$ 上一致收敛。
如果记 $\lim f_n(x)=f(x)$，那么还有
\begin{equation}
f'(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x)~.
\end{equation}