贡献者： 零穹
1. 一元隐函数
假定二变元 $x$ 及 $y$ 的值用方程联系着，若把这方程的一切项移到左边，则得到一般的形式
\begin{equation}
F(x,y)=0~.
\end{equation}
此处 $F(x,y)$ 是在某一区域给定的二元函数。
若函数 $y=f(x)$ 由式 1 给定，但未解出，则称其为隐函数；若 $y$ 对 $x$ 的关系 $y=f(x)$ 被（直接）解出来，就称为显函数。
2. 多元隐函数
同一元隐函数一样，若多个变元的方程
\begin{equation}
F(x_1,\cdots,x_n,y)=0~,
\end{equation}
确定 $y$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$，若未解出具体的表达式，则 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$ 称为
$n$ 元隐函数。
在一般的情形，若 $m$ 个方程组
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)&=0~,\\
&\ \vdots\\
F_m(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)&=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
确定 $m$ 个变元 $y_1,\cdots,y_m$ 为另 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数
\begin{equation}
y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n);\cdots;y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n)~
\end{equation}
但未解出，则
式 4 称
$m$ 个变元 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的隐函数。
3. 隐函数的单值性
方程式 1 确定的函数 $y=f(x)$ 可以是多值函数，即存在某一个 $x$，使得对于几个 $y$ 值，它们与 $x$ 同时满足方程式 1 。
我们关心的是隐函数的存在及单值性问题。先来解释这一问题的几何意义。方程式 1 在某种场合下表示为平面曲线，在这种情形，它称为隐示方程，问题归结为：曲线（或它的一部分）式 1 能否用右边单值的函数的普通方程 $y=f(x)$ 来表示。几何意义是，曲线（或它的一部分）与平行于 $y$ 轴的直线仅相交于一点。例如，方程
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0~
\end{equation}
确定一个椭圆（
图 1 ）。它在 $[-a,a]$ 内显然为双值函数。
通常我们只关心式 1 的曲线上某一点附近的领域 $y$ 对 $x$ 的单值性。例如在椭圆（图 1 ）的情形，显然可以判定，方程式 5 ，除椭圆长轴上的顶点 $A,A''$ 外，在椭圆上任一点的充分小的领域内确定纵标 $y$ 为横标 $x$ 的单值函数。为了描述某一点附近的邻域（在直角坐标中通常为长方形邻域，比如图 1 中椭圆曲线上的小长方形邻域），需先了解一般高维空间中的长方体的表示方式。
定义 1 n 维“长方体”
$n$ 维空间中，坐标各自相互独立地满足于不等式
\begin{equation}
a_1\leq x_1\leq b_1,\cdots a_n\leq x_n\leq b_n~
\end{equation}
的一切点 $M(x_1,\cdots,x_n)$ 所成的集，称为
$n$ 维闭的长方体。记为
\begin{equation}
[a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n]~
\end{equation}
若在不等式
式 6 中去掉等号，就可定义
$n$ 维开的长方体，记作
\begin{equation}
(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n)~
\end{equation}
1 维长方体通常称线段，2 维长方体称为长方形（或矩形），通常空间的长方体则对应三维长方体。
定义 2 一元隐函数在某一点附近的单值性
在矩形 $(a,b;c,d)$ 内方程式 1 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数，若在区间 $(a,b)$ 内的 $x$ 的每一值，在区间 $(c,d)$ 内方程式 1 有且仅有一个根 $y$。
定义 3 多元隐函数在一点附近的单值性
在 $n+1$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n;c,d)$ 中，方程式 2 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数，若在 $n$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n)$ 中任一点 $(x_1,\cdots,x_n)$，方程式 2 有且仅有一个根 $y$ 位于区间 $(c,d)$ 内。
定义 4 一般隐函数在一点附近的单值性
在 $n+m$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n;c_1,d_1;\cdots;c_m,d_m)$ 中，方程组式 3
\begin{equation}
\begin{aligned}
&F_1(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0\\
\vdots\\
&F_m(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0
\end{aligned}~
\end{equation}
确定 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的
单值函数，若在 $n$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n)$ 中任一点 $(x_1,\cdots,x_n)$，方程组
式 3 有且仅有一组属于 $m$ 维长方体 $(c_1,d_1;\cdots;c_m,d_m)$ 的解 $y_1,\cdots,y_m$。
