托马斯进动

贡献者： JierPeter

预备知识　洛伦兹群

　　当两个洛伦兹平动复合的时候，其结果通常不是一个洛伦兹平动，而是一个平动加上一个转动。

　　从物理直觉上来说，考虑三个参考系 $K_1$，$K_2$ 和 $K_3$。每个参考系都架设三把标尺，彼此垂直，各标尺分别测量相应参考系里的 $x$，$y$ 和 $z$ 坐标。令 $K_2$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对 $K_1$ 运动，同时保证在 $K_1$ 和 $K_2$ 看来，双方对应的标尺都相互平行；再令 $K_3$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $ 相对 $K_2$ 运动，同时保证在 $K_2$ 和 $K_3$ 看来，双方对应的标尺都相互平行，那么这个时候 $K_3$ 的标尺还和 $K_1$ 的标尺对应平行吗？

　　答案是否定的。这是因为尺缩效应只发生在沿着参考系相对速度的方向，而垂直于相对速度的方向不会发生尺缩效应。粗略的解释如图 1 所示，$K_3$ 的标尺相对于 $K_1$ 的标尺不再平行，而是转动了一个角度。

图 1：托马斯进动的示意图。左图表示 $K_3$ 眼中自己的一根标尺，它是物理存在；垂直的线段表示这个标尺，下面的长箭头表示 $K_3$ 相对 $K_1$ 的运动方向，而上面的短箭头表示垂直于该运动的方向。在 $K_1$ 看来，沿着运动方向发生了尺缩效应，下面的箭头变短，而垂直运动方向的箭头没有变短，结果就是标尺的长度缩短，并且其方向转动了一个角度。

　　这种纯粹由于相对运动而产生的标尺旋转，被称为托马斯进动（Thomas Precession），由 Llewellyn Thomas 于 1914 年提出。电子的磁矩变化、傅科摆的运动修正，都需要考虑到托马斯进动的影响。

1. 推导

　　出于方便和实用性的考量，我们研究的是一个系统加速运动中的指向变化¹。这里的系统可以是一个电子，也可以是一套傅科摆，指向则可以是任意指定的。以下为了方便表述，我们用一个电子的运动来说明。

　　设电子在实验室中以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v, 0, 0) ^{\mathrm{T}} $ 运动，同时具有一个加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =(a_x, a_y, 0)$。记实验室参考系为 $K_1$，以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动的参考系为 $K_2$，而以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} $ 运动的参考系为 $K_3$。这里 $ \,\mathrm{d}{t} $ 是一段极短的时间，而 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} $ 是电子在 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时刻后的速度。记 $a= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \right\rvert =\sqrt{a_x^2+a_y^2}$。

　　以上设定中尽管限制了 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在 $K_1$ 参考系的 $x$ 轴上、$ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 在 $x-y$ 平面上，但是并不失一般性，而且方便计算。这样，$K_1$ 到 $K_2$ 的洛伦兹过渡矩阵就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-2}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　而 $K_2$ 到 $K_3$ 的过渡矩阵是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{2-3}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&-\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&-\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&0\\ -\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&1+(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{(a_x \,\mathrm{d}{t} )^2}{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} a_y \,\mathrm{d}{t} }{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&0\\ -\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}&(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{a_x \,\mathrm{d}{t} a_y \,\mathrm{d}{t} }{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}&1+(\frac{1}{\sqrt{1-(a \,\mathrm{d}{t} )^2}}-1)\frac{(a_y \,\mathrm{d}{t} )^2}{(a \,\mathrm{d}{t} )^2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　那么 $K_1$ 到 $K_3$ 的过渡矩阵就是这两个矩阵的复合（注意它们相乘的方向，并且忽略掉 $ \,\mathrm{d}{t} $ 大于一阶的项）：

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-3}&= \boldsymbol{\mathbf{L}} _{2-3} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-2}\\&= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}&a_y \,\mathrm{d}{t} &0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ -a_y \,\mathrm{d}{t} &va_y \,\mathrm{d}{t} &1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} ~. \end{aligned} \end{equation}

　　这个变换就不是一个平动，而是一个平动和一个转动的复合。

　　如果记 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _{3-1}$ 是从 $K_3$ 直接平动回到 $K_1$ 的洛伦兹过渡矩阵²，那么我们有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{1-3} \boldsymbol{\mathbf{L}} _{3-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}&0\\ 0&(1-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}})\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ~, \end{equation}

　　这是一个 $x-y$ 平面内的转动。也就是说，当粒子有了一个 $y$ 方向的加速度的时候，其参考系指向会变化。

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的含义是，在 $ \,\mathrm{d}{t} $ 内，这个指向在 $x-y$ 平面上顺时针转动了 $\arcsin{(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}}$ 的角度，由于该角度很小，因此由 $\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ 可知，这个转动角度也可以写为 $ \,\mathrm{d}{\Omega} =(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{a_y \,\mathrm{d}{t} }{v}$。

　　整理以上结果，我们可以得到，当电子以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动且有加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 时，其坐标系指向按角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 偏转，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} =\frac{ \,\mathrm{d}{\Omega} }{ \,\mathrm{d}{t} }=(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}$。

　　当 $v$ 也很小，以至于 $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\approx 1+\frac{1}{2}v^2$ 时，这个角速度还可以近似为 $\frac{ \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} }{2}$。

1. ^ 推导思路完全参考自 Goldstein 的 Classical Mechanics [1]。
2. ^ 就是说，直接从 $K_3$ 变换回 $K_1$，保持双方的标尺平行。该矩阵的具体形式此处省略了。

[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed