含时散射的形式理论
贡献者： addis
1设不含时哈密顿算符为
\begin{equation}
H = H_0 + H'~.
\end{equation}
其中 $H_0$ 不含粒子间的相互作用，只包含动能。
定义格林函数，也叫传播子 $G^\pm(t)$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} - H_0 \right) G^\pm (t) = \delta(t)~,\\
& \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} - H \right) \mathscr G^\pm (t) = \delta(t)~.
\end{aligned}
\end{equation}
也可以表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&G^+(t) = \left\{\begin{aligned} &- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H_0 t} \quad &t > 0\\
&0 \quad &t < 0 \end{aligned}\right. ~,\\
&G^-(t) = \left\{\begin{aligned} &0 \quad &t > 0\\
& \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H_0 t} \quad &t < 0 \end{aligned}\right. ~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\mathscr G^+(t) = \left\{\begin{aligned} &- \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \quad &t > 0\\
&0 \quad &t < 0 \end{aligned}\right. ~,\\
&\mathscr G^-(t) = \left\{\begin{aligned} &0 \quad &t > 0\\
& \mathrm{i} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \quad &t < 0 \end{aligned}\right. ~,
\end{aligned}
\end{equation}
代入
式 2 即可验证。注意 $\delta(t)$ 的由来是 $t=0$ 处的阶梯。
对 $t>0$ 有积分方程如
\begin{equation}
\mathscr G^+(t) = G^+(t) + \int_0^t G^+(t-t'')H'\mathscr G^+(t'') \,\mathrm{d}{t''} ~.
\end{equation}
1. ^ 本文参考 [1] 6.2 以及 [2] 7.11。
[1] ^ Roger G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, 2ed
[2] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition