贡献者: JierPeter; DTSIo; addis
有了实数的完备性,我们就可以得到一个很重要的概念,确界。为了介绍确界,我们首先要熟悉 “界” 的概念。
实数子集的界通常不是唯一的。比上界大的实数都是上界,比下界小的实数也都是下界。只有当上界是 $+\infty$ 或者下界是 $-\infty$,该上界或下界才是唯一的。
界无法保证唯一性,因此很难用来刻画集合本身的性质。比如说,区间 $[0, 1]$ 和区间 $[0, 2]$ 是不同的集合,但实数 $2$ 都是它们的上界,于是光描述某些上界是完全无法体现这两个集合的区别的。但是我们也容易想到,一个集合的所有上界中,有一个上界是可以唯一确定的,这就是我们接下来要定义的上确界。
对于很多集合来说,上确界就是其中最大的元素,下确界就是其中最小的元素,比如区间 $[a, b]$ 的上下确界就分别是 $b$ 和 $a$。那么我们为什么不用集合的最大最小值来讨论,而是非要定义个确界呢?这是因为不是所有集合都有最大最小元素的,比如区间 $(a, b)$,它的上下确界依然是 $b$ 和 $a$,但它却没有最大最小值。
上面这段分析暗含了一个问题:如果不是所有集合都有最大最小值,那能否保证确界的存在呢?比如说,$S$ 的下确界是 $S$ 的界所构成的集合中的最大值,那我们能不能保证这个界的集合一定有最大值呢?
答案是肯定的,我们称之为确界原理。
注意,我们将确界原理写成了一条定义,因为它是刻画实数完备性的公理之一,而不是可供证明的定理。这些公理是完全等价的,任何一条都能推出其它所有,故任选其一作为公理来定义实数的完备性即可。完备性公理的整合描述请参见实数的完备公理。
有如下定理:
不论在哪个实数模型中,唯一性都可以由序公理立即得到。
如果以戴德金分割为基础构造实数模型,那么对于给定的实数集 $S$, 它的上下确界都是可以明确地构造出来的。实际上,对于 $x\in S$, 如果写 $L_x$ 为其戴德金分割的下类,$R_x$ 为其戴德金分割的上类(记得它们都是 $\mathbb{Q}$ 的子集), 那么交集 $$ R_s=\bigcap_{x\in S}R_x~ $$ 在加上最小元素(如果有一个有理数能成为它的最小元素的话)之后也仍然是一个上类,而并集 $$ L_i=\bigcup_{x\in S}L_x~ $$ 在除去最大元素(如果它本身有最大元素的话)之后也仍然是一个下类。
不难发现,由分割上类 $R_s$ 确定的实数 $s$ 正符合上确界的定义,而由分割下类 $L_i$ 确定的实数 $i$ 正符合下确界的定义。
1. ^ 即存在 $x\in S$,使得 $x>y$。