高斯恒等式（黎曼几何）

                     

贡献者： JierPeter; Giacomo

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  • 待添加文章《截面曲率》
预备知识　曲率张量场

　　

未完成：参考 1，参考 2

　　 我们可以用更现代的语言来描述高斯绝妙定理。毕竟我们是在学习数学，而非数学史，站在巨人的肩膀上当然是更合适的。

1. 一点预备

　　 首先是一个引理：

引理 1　曲面上的黎曼联络

　　 $\mathbb{R}^n$ 中的曲面 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$，就是 $\mathbb{R}^n$ 的方向导数 $D$ 的投影：

\begin{equation} \nabla_XY= \operatorname {pr}(D_XY)~, \end{equation}
其中 $ \operatorname {pr}$ 表示投影（projection）映射。我们也可以表示为 $ \operatorname {pr}(D_XY)=(D_XY)_\parallel$。

　　 引理较为直观，证明留给读者，只需要挨个验证黎曼联络所需要满足的线性性和 Leibniz 律即可。

　　 接下来是两个有用的式子，它们的证明是靠直接计算得来的，算起来有些麻烦，但算好之后可以直接引用，大大简化绝妙定理的证明。

定理 1　

　　 设 $(M, \nabla)$ 是一个 $\mathbb{R}^3$ 中的子黎曼流形，且 $X, Y, Z\in\mathfrak{X}(M)$。则我们有以下定理：

  1. （高斯曲率方程）$R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$；
  2. $\nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)=L([X, Y])$

　　 以下分别证明这两个式子。

第一个式子的证明

　　 回忆形状算子 $L$ 的定义：对于 $\mathbb{R}^3$ 中一曲面上的切向量场$X$，记 $N$ 为该曲面的单位法向量场，那么 $L(X)=-D_XN$，其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的方向导数，也即其天然的仿射联络。

　　 由于 $X, Y$ 和 $N$ 垂直，因此我们有 $ \left\langle L(X), Y \right\rangle = \left\langle D_XY, N \right\rangle $。

　　 考虑到 $ \left\lvert N \right\rvert \equiv 1$，因此 $(D_XY)_\perp= \left\langle Y, L(X) \right\rangle N$；又由引理 1 ，$\nabla_XY=(D_XY)_\parallel=D_XY-(D_XY)_\perp$。

　　 于是我们有：

\begin{equation} D_XY=\nabla_XY+ \left\langle D_XY, N \right\rangle N~. \end{equation}

　　 现在就可以尝试计算 $D$ 的曲率，思路是先计算出它的三个部分式 3 、式 4 和式 5 ：

\begin{equation} \begin{aligned} D_XD_YZ&=D_X\nabla_YZ+D_X( \left\langle L(Y), Z \right\rangle N)\\ &=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N+ \left\langle L(Y), Z \right\rangle D_XN\\ &=\nabla_X\nabla_YZ+ \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle N+(X \left\langle L(Y), Z \right\rangle )N- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)~. \end{aligned} \end{equation}

　　 交换 $X, Y$ 还可得到

\begin{equation} D_YD_XZ=\nabla_Y\nabla_XZ+ \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle N+(Y \left\langle L(X), Z \right\rangle )N- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)~, \end{equation}

　　 再利用式 2 得到

\begin{equation} D_{[X, Y]Z}=\nabla_{[X, Y]}Z+ \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle N~. \end{equation}

　　 计算式 3 -式 4 -式 5 后得到

\begin{equation} \begin{aligned} 0=R_D(X, Y)Z=&R(X, Y)Z- \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)+ \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)\\ &+\text{垂直分量}~, \end{aligned} \end{equation}
其中 $R_D(X, Y)=D_XD_Y-D_YD_X-D_{[X, Y]}$，是 $D$ 的曲率。考虑到 $D$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的方向导数，故是一个平坦联络，故 $R_D(X, Y)\equiv 0$。

　　 只考虑式 6 的切向分量，我们就得到 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$。

第二个式子的证明

　　 这个证明就要用到式 6 的垂直分量了。这个分量是：

\begin{equation} \begin{aligned} (& \left\langle L(X), \nabla_YZ \right\rangle +X \left\langle L(Y), Z \right\rangle \\&- \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle -Y \left\langle L(X), Z \right\rangle \\&- \left\langle L([X, Y], Z) \right\rangle )N=0~, \end{aligned} \end{equation}
等于零是因为式 6 最左边为零。

　　 考虑到 $\nabla$ 的相容性，即 $X \left\langle L(Y), Z \right\rangle - \left\langle L(Y), \nabla_XZ \right\rangle = \left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle $，我们有：

\begin{equation} \left\langle \nabla_XL(Y), Z \right\rangle - \left\langle \nabla_YL(X), Z \right\rangle - \left\langle L([X, Y]), Z \right\rangle =0~. \end{equation}

　　 由于式 8 对一切 $M$ 上的切向量场 $Z$ 都成立，因此我们可以写出：

\begin{equation} \nabla_XL(Y)-\nabla_YL(X)-L([X, Y])=0~. \end{equation}

评论

　　 形状算子的作用结果永远在切空间内，故它也是一个内蕴（内禀）的量，不依赖于具体的嵌入映射。由其定义可知，它又表达了单位法向量是如何沿着切向量变化的，因此和曲率紧密相关。

2. 高斯绝妙定理

　　 大 Boss 来了：

定理 2　高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）

　　 令 $(M, \nabla)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个 2 维黎曼流形，取 $p\in M$。则有：

  1. 若 $\{e_1, e_2\}$ 为 $M$ 上的一个标准正交基，那么高斯曲率可以写为
    \begin{equation} K_p= \left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_1 \right\rangle ~. \end{equation}
  2. $K_p$ 在保度量变换下不变。

绝妙定理的证明

　　 回顾高斯曲率的定义：它是形状算子 $L$ 的行列式。因此，高斯曲率可以写为

\begin{equation} K_p= \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle ~. \end{equation}

　　 由定理 1 中的高斯曲率方程 $R(X, Y)Z= \left\langle L(Y), Z \right\rangle L(X)- \left\langle L(X), Z \right\rangle L(Y)$，得到：

\begin{equation} R_p(e_1, e_2)e_2= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2)~, \end{equation}

　　 因此

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle R_p(e_1, e_2)e_2, e_2 \right\rangle &= \left\langle ( \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle L(e_1)- \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle L(e_2)), e_1 \right\rangle \\ &= \left\langle L(e_2), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_1), e_1 \right\rangle - \left\langle L(e_1), e_2 \right\rangle \left\langle L(e_2), e_1 \right\rangle \\ &=K_p~, \end{aligned} \end{equation}

　　 这就得到了第一条式子的证明。

　　 第二条式子的证明可以简述如下：

　　 $g_{ab}$ 不变（保度量变换）$\Rightarrow$ $\nabla$ 不变（度量决定了联络）$\Rightarrow$ 用 $\nabla$ 定义的曲率 $R$ 不变 $\Rightarrow$ 用 $R$ 计算得出的 $K_p$ 不变。

3. 补充应用

                     

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