反射变换（高等代数）

贡献者：叶月2_; addis

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　反射变换的概念来源于平面上的轴反射。根据初中几何学里就已接触的轴反射定义，我们可以用矩阵表示关于 $y$ 轴的线性变换。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} ~. \end{equation}

可以验证，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{e}} _x=- \boldsymbol{\mathbf{e}} _x, \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{e}} _y= \boldsymbol{\mathbf{e}} _y$。因此这确实是一个保持向量在平行轴方向的分量不变，垂直轴的方向反向的轴反射。

　　任意图像在轴反射后形状不变，也就是说，这是一个保距变换。同理，我们也可以对任意向量作关于平面的反射，或者更延伸一些，在 $\mathbb R^n$ 中作关于超平面 $\mathbb R^{n-1}$ 的反射。（下文将超平面简称为平面）

定义 1　

　　设 $S$ 是 $n$ 维向量空间 $\mathbb R^n$ 中的平面，$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 是其单位法向量，对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \mathbb R^n$，定义其反射（reflection）$R:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n$ 为

\begin{equation} R( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{x}} -2( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{n}} ) \boldsymbol{\mathbf{n}} ~. \end{equation}

　　可以验证，$R$ 是保距变换。

定理 1　

　　保距变换一定是反射变换的复合。

　　 证明：¹

　　在 $n=1$ 的时候，保距变换要么是恒等变换，要么是反射变换，因为只有这两种变换不改变基向量的范数。因此，定理自然成立。

　　假设定理对 $1< n< k$ 成立，设 $\mathbb R^{k-1}$ 上的保距变换可以写为至多 $m$ 个反射变换的复合。

　　假设 $f$ 是 $\mathbb R^k$ 中的保距变换，且不是恒等变换。设 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} $，$S_z$ 为以 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 为法向量的超平面，并用 $R_z$ 表示关于该超平面的反射变换。不失一般性，设 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 为单位法向量，可以验证：$R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 且 $R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{y}} )=x$²，则 $R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{z}} )= \boldsymbol{\mathbf{z}} $。即 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 是 $R_z\circ f$ 的不变子空间。在欧几里得空间中，保距变换即为正交变换，且其复合依然保距，根据引理 3 ，$S_z$ 也为 $R_z\circ f$ 的不变子空间。

　　根据假设，$R_z\circ f|_{S_z}$ 可写为最多 $m$ 个反射变换的复合。设为

\begin{equation} R_z\circ f|_{S_z}=R_1R_2...R_{m}~, \end{equation}

设 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in S_z$，是对应超平面的单位法向量。

　　拓展 $R_i$ 为对全空间向量作用的 $R'_i$，各单位法向量对应的超平面从 $n-2$ 维变为 $n-1$ 维，且 $R'_i( \boldsymbol{\mathbf{z}} )= \boldsymbol{\mathbf{z}} $，容易验证该定义是自洽合理的³。

　　现在我们有 $R_z \circ f=R'_1R'_2...R'_{m}$，则 $f=R_zR'_1R'_2...R'_{m}$，所以不仅定理成立，而且$n$ 维欧几里得空间中保持原点不变的保距变换是最多 $n$ 个反射变换的复合⁴。

未完成：还需要增加一些实例

1. ^ 参考来源：Notes of KEITH CONRAD。
2. ^ 也就是 $R_z( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{y}} $，可直接验证得到。
3. ^ 即保持在超平面上的限制形式依旧。
4. ^ 从 $n=1$ 开始推导，可知非平凡的保距变换必是反射变换，且次数小于或等于空间维数。