拉马努金和（数论）
贡献者： int256
这里探讨的是数论中的拉马努金和（Ramanujan's Sum），非级数等中的拉马努金求和。
定义 1 拉马努金和
拉马努金和（Ramanujan's Sum） $c(m; n)$ 定义为：
\begin{equation}
c(m; n) = c_n(m) = \sum_{h=1, \gcd(h, n)=1}^{n} e\left(\frac{mh}{n}\right) ~.
\end{equation}
类似 Gauss 和的，可以发现，只要 $h$ 取遍 $n$ 的一个缩系即可，记为 $h^*(n)$。
定理 1
\begin{equation}
c_n(m) = \sum_{h^*(n)} e\left(mh/n\right) ~.
\end{equation}
定理 2
利用本原单位根，可以将 Ramanujan 和表示为
\begin{equation}
c_q(m) = \sum \rho^m~,
\end{equation}
其中 $\rho$ 取遍 $q$ 的所有本原 $q$ 次单位根。
利用缩系的定理 3 ，将可以得到 Ramanujan 和的另一性质。
定理 3
若 $(q, q') = 1$，则 $c_{qq'}(m) = c_q(m) c_{q'}(m)$。
这是因为利用这性质将直接有
\begin{equation}
c_q(m) c_{q'}(m) = \sum_{h^*(q), h'^*(q')} e\left[ m\left(\frac{h}{q} + \frac{h'}{q'}\right) \right] = \sum_{h^*(q), h'^*(q')} e\left( \frac{m(hq' + h'q)}{q q'} \right) = c_{qq'}(m)~.
\end{equation}
证毕！