单位根与本原单位根(数论)

                     

贡献者: int256

预备知识 数论三角和最大公约数与最小公倍数

定义 1 单位根

   若 $p^q=1$,就说 $p$ 是 $q$ 次单位根

定义 2 本原单位根

   若 $p^q = 1$,就称 $p$ 是本原 $q$ 次单位根(primitive $q$-th root of unity)。但对于任何小于 $q$ 的正 $r$,$q^r$ 都不等于 $1$。

   我们会注意到 $p$ 几乎总是复数。

定理 1 

   任何 $q$ 次单位根都是对 $q$ 的某个因子 $r$ 而言的一个本原 $r$ 次单位根。

   证明:假设 $p^q=1$,而 $r$ 是使 $p^r=1$ 的最小正整数,则对于 $q = kr+s$,其中 $0\le s < r$,将有

\begin{equation} p^s = p^{q - kr} = 1~, \end{equation}
故 $s=0$ 且 $r | q$。

定理 2 单位根的取值

   $q$ 次单位根是下列各数,

\begin{equation} e\left( h/q \right), ~ (h = 0, 1, \dots, q-1) ~. \end{equation}

定理 3 单位根与本原单位根的关系

   对于所有 $q$ 次单位根

\begin{equation} e(h/q), ~(h = 0, 1, \dots, q-1) ~, \end{equation}
其是本原 $q$ 次单位根当且仅当 $h$ 与 $q$ 互素。

                     

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