量子比特

贡献者： certain_pineapple; ASAHI

预备知识 1　量子力学基本原理

　　在经典信息学中，一个比特（bit）代表着一个取值为 0 或者 1 的随机变量。比如一个电容器的状态可以离散表示为一个比特。当电容器处于高电平的时候，我们将其状态记为 1，否则则记为 0。在基于经典物理的信息论中，我们认为 0 和 1 这两种状态是可以被准确无误地区分开的。

　　在量子信息处理中，量子比特（qubit）是比特这个概念的量子对应。它描述了一个由 $| 0 ⟩, | 1 ⟩$ 表示的二能级量子系统的状态。我们仍然希望两种 “量子状态” 是可以被准确无误地区分开的，这自然要求着 $⟨ 0 | 1 ⟩ = 0$ 。也就是说， $| 0 ⟩, | 1 ⟩$ 张成了一个二维希尔伯特空间。

　　和经典比特不同的是，量子比特可以处于两种状态的叠加态上。也就是说，一个一般的量子比特可以处在状态

\begin{matrix} (1) & | ψ ⟩ = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩, a, b \in C, | a |^{2} + | b |^{2} = 1 . \end{matrix}

在

{| 0 ⟩, | 1 ⟩}

基的测量下，有

| a |^{2}

的概率得到状态 0,有

| b |^{2}

的概率得到状态 1。

　　我们目前讨论的全部都是纯态，这相当于是在说，系统的信息已经完全被掌握了（在经典物理中，这代表着系统处于相空间中的一个点）。但是即使我们掌握了系统的全部信息，伴随我们的测量仍然会出现随机性。这也是量子力学和经典世界很不一样的地方。

1. 物理实现

　　有很多种不同的物理系统都可以实现量子比特。最简单的例子是自旋-1/2 系统，它自然带有一个二维希尔伯特空间。不那么平凡的例子是光子的偏振自由度。虽然光子是自旋-1 的系统，但是因为其没有静止质量，纵波方向的自由度被禁止。因此其偏振只能有两个取值，因此也可以作为量子比特的载体。此外，即使系统有着多于两个能级，比如很多类型的原子和介观量子电路，只要我们只考虑其中的两个能级，并保证有办法确定系统具体处在什么能级上，那么也可以将其作为量子比特的载体。

　　本部分不会花过多篇幅来讨论实际的物理载体，但是需要强调的是，量子信息科学并不是建立在抽象数学上的空中楼阁，而是有着扎实的物理根基。

2. 布洛赫（Bloch）球表示

纯态情况

　　我们来数一数一个量子比特有多少自由的（实数）参数。 $a, b$ 各有两个参数， $| a |^{2} + | b |^{2} = 1$ 构成一个约束条件，看起来有三个约束，但是由于量子态的全局相位可以忽略，因此又会少一个自由度。因此描述一个量子比特只需要两个实数参数就够了。

　　根据归一化条件，一个一般的量子比特的描述也可以用

\begin{matrix} (2) & | ψ ⟩ = e^{i α} (\cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + \sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 1 ⟩) \end{matrix}

来表示。

　　由于全局相位 $α$ 并不重要，因此我们总可以使用 $θ \in [0, π]$ 和 $ϕ \in [0, 2 π]$ 来表示一个任意的量子态。

　　可以看到在 Bloch 球表示当中， $θ$ 和 $ϕ$ 刚好就是 Bloch 球上的球坐标。也就是说，任意一个量子比特所处的态都位于 Bloch 球面上。

图 1：量子比特的 Bloch 球表示

　　容易验证，当 Bloch 球上的两个量子态正交时，它们在球面上的点的连线会过球心。这样的点对被称为对径点对。这些点对中最重要的有三对，它们分别对应着 $z, x, y$ 三个坐标轴与球面的交点：

\begin{matrix} (3) & | 0 ⟩, | 1 ⟩; | \pm ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ \pm | 1 ⟩); | \pm i ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ \pm i | 1 ⟩) . \end{matrix}

　　另一个重要的性质是，Bloch 球面上方向 $\hat{n} = (\sin θ \cos ϕ, \sin θ \sin ϕ, \cos θ)$ 所对应的量子态 $\cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + \sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 1 ⟩$ ，刚好是矩阵 $\hat{n} \cdot σ$ 本征值为 $+ 1$ 的本征态。而对径点 $\sin \frac{θ}{2} | 0 ⟩ - \cos \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 1 ⟩$ 则是 $\hat{n} \cdot σ$ 本征值为 $- 1$ 的本征态。这一结论将会在单比特量子门中有重要应用。

混态情况

　　接下来的部分内，我们将建立了一个自旋 $\frac{1}{2}$ 系统的密度矩阵与 Bloch 球壳及球内的点的一一对应，并且说明Bloch 球壳上的点对应纯态的密度矩阵，而Bloch 球内的点对应混态的密度矩阵，Bloch 球外的点没有与之相对应的密度矩阵。

预备知识 2　密度矩阵，泡利矩阵

　　在真正讨论如何描述混态之前，我们首先重新用密度矩阵的语言描述一下纯态的情况。

　　上文中提到，Bloch 球面上存在如下对应关系：

\begin{matrix} (4) & \hat{n} = (\sin θ \cos ϕ, \sin θ \sin ϕ, \cos θ) ⟺ | ψ ⟩ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + \sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 1 ⟩ . \end{matrix}

　　运用密度矩阵的知识，也可以很轻易地写出其对应的密度矩阵：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ρ & = | ψ ⟩ ⟨ ψ | \\ = (\begin{array}{c} \cos^{2} \frac{θ}{2} & \cos \frac{θ}{2} \sin \frac{θ}{2} e^{- i ϕ} \\ \cos \frac{θ}{2} \sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} & \sin^{2} \frac{θ}{2} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos θ & \frac{1}{2} \sin θ (\cos ϕ - i \sin ϕ) \\ \frac{1}{2} \sin θ (\cos ϕ + i \sin ϕ) & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos θ \end{array}) \\ = \frac{1}{2} σ_{0} + \frac{1}{2} \sin θ \cos ϕ σ_{1} + \frac{1}{2} \sin θ \sin ϕ σ_{2} + \frac{1}{2} \cos θ σ_{3} \\ = \frac{1}{2} σ_{0} + \frac{1}{2} \hat{n} \cdot σ \end{aligned} \end{matrix}

　　上式中泡利矩阵遵循定义 1 中定义， $σ_{0}$ 表示 $2 \times 2$ 的单位阵， $σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3})$ 。

　　上式更好的说明了 Bloch 矢量是如何与一个量子态相对应的。

　　值得注意的是 Bloch 矢量的分量 $n_{a}$ 也是有物理意义的，它恰好是所对应的泡利矩阵的期望：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ σ_{a} ⟩ & = tr (ρ σ_{a}) \\ = \frac{1}{2} tr (σ_{a} + n_{b} σ_{b} σ_{a}) \\ = \frac{1}{2} tr (σ_{a}) + \frac{1}{2} tr (n_{b} δ_{a b} + i ϵ_{a b c} n_{b} σ_{c}) \\ = n_{b} \end{aligned} \end{matrix}

　　上式运算中遵循爱因斯坦求和约定，最后一步运用了泡利矩阵迹为 $0$ 的性质，同时运算中使用了泡利矩阵之间的乘积公式式 6 。

　　下面让我们的目光回到一般的密度矩阵上，我们知道，对于一个任意的 $2 \times 2$ 厄米矩阵，可以写成以下形式：

\begin{matrix} (7) & M = (\begin{matrix} m_{1} & a - i b \\ a + i b & m_{2} \end{matrix}) = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + a (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) + \frac{m_{1} - m_{2}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

　　其中， $m_{1}, m_{2}, a, b$ 都为实数。可见所有 $2 \times 2$ 厄米矩阵厄米矩阵都可以写成泡利矩阵和的形式，也就是密度矩阵可写成上边的形式。

　　考虑密度矩阵的迹为 $1$ ，而泡利矩阵 $σ_{1}$ ， $σ_{2}$ ， $σ_{3}$ 迹为 0，所以密度矩阵所对应 $\frac{m_{1} + m_{2}}{2}$ 应为 $\frac{1}{2}$ ，则：

\begin{matrix} (8) & ρ = \frac{1}{2} σ_{0} + n \cdot σ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + n_{3} & n_{1} - i n_{2} \\ n_{1} + i n_{2} & 1 - n_{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　上式中的 $n$ 即使密度矩阵对应的 Bloch。由于密度矩阵的半正定性，应当有 $\det ρ ⩾ 0$ ，则：

\begin{matrix} (9) & \det ρ = \frac{1}{4} (1 - {| n |}^{2}) ⩾ 0 ⟹ {| n |}^{2} ⩽ 1 . \end{matrix}

　　上式当且仅当 $\det ρ = 0$ 时取等号， $\det ρ = 0$ 意味着 $ρ$ 仅有一个为 $1$ 的本征值，也就是纯态，那么可以说，当且仅当密度矩阵描述的是一个纯态时，所对应的 ${| n |}^{2} = 1$ 。混态时， ${| n |}^{2} ⩽ 1$ ，也就是对应的 Bloch 矢量在 Bloch 球内部。由此，我们给出了一个密度矩阵如何唯一对应一个 Bloch 矢量，同时，任意一个 Bloch 球内部的矢量也可以唯一对应一个密度矩阵，方法是用其在直角坐标系下的三个坐标代替上文中 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ 。球外的点因为 ${| n |}^{2} ⩾ 1$ 所以没有与之相对应的密度矩阵。

　　这样定义出来的混态的 Bloch 矢量有意义吗？答案是有的，因为我们式 6 推导出来的 Bloch 矢量相关的性质并没有依赖 ${| n |}^{2} = 1$ 。

　　特别的，密度矩阵为 $2 \times 2$ 单位矩阵的量子态所对应的 Bloch 矢量为零矢量。

　　综上所述，我们建立了一个自旋 $\frac{1}{2}$ 系统的密度矩阵与 Bloch 球壳及球内的点的一一对应，并且说明了球壳上的点对应纯态的密度矩阵，而球内的点对应混态的密度矩阵，球外的点没有与之相对应的密度矩阵。

3. 高维量子比特

　　如果不加说明，量子比特都指代的是包含两个能级的量子系统的状态，不过在一些特殊情况下，我们也可以考虑更加高维的量子比特。为了做到这点只需要将希尔伯特空间的维度推广到 $d$ 维。

　　当 $d = 3$ 时，我们称此时的量子比特为 qutrit，在 $d$ 为任意大于等于 2 的正数时，我们称此时的量子比特为 qudit。

4. 多个量子比特

预备知识 3　张量积

　　单个量子比特构成了量子信息的基本单元。在更加一般的量子信息处理任务中，我们往往需要处理 $n$ 个不同的量子比特。复合系统的原理告诉我们，如果系统由两个子系统 $A, B$ 所构成，那么这个系统的希尔伯特空间由子系统希尔伯特空间的张量积 $H_{A B} = H_{A} \otimes H_{B}$ 描述。这保证了我们可以合理地描述多个量子比特的量子态。

　　如果系统含有 $n$ 个量子比特，并且记录第 $k$ 个量子比特对应的系统的基矢为 ${{| 0 ⟩}_{k}, {| 1 ⟩}_{k}}$ ，那么¹ $| ψ ⟩ = \sum_{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n} \in {0, 1}} α_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} {| j_{1} ⟩}_{1} \otimes {| j_{2} ⟩}_{2} \otimes \dots \otimes {| j_{n} ⟩}_{n},$ 其中 $α_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}}$ 是复数而且满足归一化条件 $\sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} | a_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} |^{2} = 1$ 。

　　在不引起歧义的情况下，我们往往会将多比特空间的基矢量简记为 ${| j_{1} ⟩}_{1} \otimes {| j_{2} ⟩}_{2} \otimes \dots \otimes {| j_{n} ⟩}_{n} \to | j_{1} j_{2} \dots j_{n} ⟩ .$

　　张量积的一个重要特性是： $H_{A B}$ 中的态 ${| ψ ⟩}_{A B}$ 不一定能够写作 $H_{A}$ 和 $H_{B}$ 中的态的张量积。如果一个两比特纯态满足这个性质，那么我们称这个态是两比特纠缠态。

习题 1　

　　证明两比特量子态 $| Φ^{\pm} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ \pm | 11 ⟩), | Ψ^{\pm} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ \pm | 10 ⟩)$ 都是两比特纠缠态。

　　纠缠在信息的角度代表着不平凡的量子关联，在后面的章节中我们将会详细地讨论这件事情。

1. ^ 这里用到了一个隐含假设，那就是每个量子比特对应的系统都是可编号、可区分的。这并不与量子力学中的全同性假设矛盾。比如在定域系统等体系中，我们仍然可以对不同的量子模式进行区分。