量子力学的诞生

贡献者： _Eden_

　　量子力学的提出是为了解决 19 世纪末期经典物理学无法解释的几个实验事实。不同于爱因斯坦以一己之力发现的狭义相对论，量子力学是许许多多物理学家的智慧凝结而成的结果。

　　经典物理学无法解释的问题有黑体辐射、光电效应、原子的结构模型、固体比热……在学习的过程中，我们将体会到 20 世纪初的物理学家们是如何被迫一点一点地放弃他们曾经钟爱的物理学概念，以及那些了不起的大师们，诸如海森堡、薛定谔和狄拉克等，除去他们在早期的一些不正确的起始点和错误的转折点外，最终怎样成功地阐明了我们今天所熟知的量子力学。

1. 黑体辐射

　　黑体指的是这样一种理想空腔，它能将射在其上的电磁波完全吸收。自然，它也会以电磁波的形式辐射出自身的能量，最后达到热力学平衡。

　　 1896 年，维恩从热力学的普适理论出发，并结合实验数据，提出了如下半经验公式（维恩公式）

\begin{equation} E_\nu \,\mathrm{d}{\nu} =C_1\nu^3 \exp\left(-C_2 \nu /T\right) \,\mathrm{d}{\nu} ~, \end{equation}

其中 $E_\nu$ 为单位体积内频率在 $\nu$ 到 $\nu+ \,\mathrm{d}{\nu} $ 内的辐射能量密度。维恩因此获得了 1911 年的诺贝尔奖。

　　然而进一步实验表明，维恩公式在长波极限下与实验符合的不好。为此，瑞利和金斯提出了瑞利金斯公式：

\begin{equation} E_\nu \,\mathrm{d}{\nu} =\frac{8\pi}{c^3}kT\nu^2 \,\mathrm{d}{\nu} `~. \end{equation}

　　瑞利金斯公式是基于经典统计中的能量均分定理提出的。其思路是，考虑空腔内的电磁波模式，每一个振动模式上的平均能量为 $kT/2$，而对于一个有限立方体而言，每种振动模式下的电磁波具有如下的一般形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \sin\frac{n_1\pi x}{a} \sin\frac{n_2\pi y}{b}\sin \frac{n_3\pi z}{c}~, \end{equation}

其中 $n_i=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$。每个模式占据的相空间体积为 $\Delta k=\pi^3/abc=\pi^3/V$。波数和频率的关系式是 $| \boldsymbol{\mathbf{k}} | = 2\pi\nu/c$，所以频率在 $\nu$ 到 $\nu+ \,\mathrm{d}{\nu} $ 内的电磁波模式有 $(16\pi \nu^2V/c^3 ) \,\mathrm{d}{\nu} $ 个。根据能量均分定理，就可以得到式 2 。

　　瑞利金斯公式在低频区域与实验符合得很好，但在高频极限下辐射能量将趋于无穷大，这被称为紫外灾难。这暗示了在量子统计中，能量均分定理需要被重新考量。

　　 1900 年，普朗克利用插值技巧得出了黑体辐射公式，并赋予了它能量量子化的解释，迈出了量子力学发展的第一步。对于一个特定的电磁波模式，能量只能取分立的值而非连续的值，并且服从玻尔兹曼分布：每种值出现的概率与 $e^{-E/kT}$ 成正比（也就是说，服从玻尔兹曼分布）。

\begin{equation} E_\nu \,\mathrm{d}{\nu} =\frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k T)} - 1}~. \end{equation}

　　在量子力学中，光子是电磁场的激发态，光子作为一种准粒子，具有类似玻色子的性质，因此普朗克公式是玻色-爱因斯坦统计的结果。

2. 原子的玻尔模型

　　 1911 年，卢瑟福通过 $\alpha$ 粒子散射实验，提出了电子绕原子核运动的模型。然而该模型遇到了非常大的困难。根据经典电动力学，电子在原子核外作加速运动时，将会不断辐射电磁波，因而损失能量。这样一来，绕原子核运动的电子最终将掉到原子核中。理论计算表明这一过程是非常快的，也就是说，原子核将是不稳定的。然而现实世界的经验表明，原子核是稳定的。此外，实验表明原子光谱是分立而非连续的，这也与经典理论所预测的结果矛盾。为此，需要一个革命性的理论解决这一系列矛盾。

　　 1912 年，玻尔提出了著名的对应原理，并基于若干基本假定，完美地解释了氢原子光谱的规律。玻尔理论最核心的假设有两条，一是原子具有能量分立的定态，二是原子在不同的定态之间的跃迁会导致相应频率电磁波的发射和吸收。为了将这些定态确定下来，玻尔还提出了对应原理：当某个定态的量子数 $n$ 很大时，它应当接近经典理论给出的数值。

　　玻尔理论大大促进了旧量子论的发展。在玻尔理论的基础上，索莫非在玻尔模型的基础上提出了角动量量子化条件，于是我们可以计算氢原子或类氢原子的定态以及光谱数据。但玻尔理论解释更复杂原子的光谱，也难以解释电子轨道是抛物线的情况，因此玻尔理论有局限性。随后海森堡革命性地提出了矩阵力学，即我们今天所知的量子力学。

3. 德布罗意波

　　爱因斯坦用解释光电效应¹时，提出了光子能量与其波频率的关系：$E=h\nu$，其中 $E$ 是光子的能量，$\nu$ 是频率，$h$ 是普朗克常数。而狭义相对论认为光子的能量 $E$ 与动量大小 $p$ 之间的关系是 $E=pc$，其中 $c$ 是光速。由此可得，光子的动量大小应该是

\begin{equation} p=E/c=h\nu/c=h/\lambda~, \end{equation}

其中 $\lambda$ 是波长。

　　 1924 年，德布罗意（de Broglie）在他的博士学位论文中提出，一切物质都和光一样具有波粒二象性，每个粒子都关联于一个波，称之为物质波。他将爱因斯坦的光量子理论推广，认为 $p=h/\lambda$ 适用于一切微观粒子如电子，也就是说物质波的波长和动量成反比。德布罗意仅仅提出了物质波的概念以及波长公式，并没有对物质波进一步定量描述。仅两年后，薛定谔把 “物质波” 用著名的薛定谔方程正式定量描述为量子力学的波函数。

　　量子力学用波函数表示粒子的状态是因为许多实验发现微观粒子（如电子，质子，中子）在运动时具有一些经典物理中波的性质（例如声波，水波，光波），这就是著名的波粒二象性。注意，波函数本身是不能被直接观测的。

　　波函数以及描述它的薛定谔方程很快获得了巨大的成功，用它可以解释当时的理论无法解释的许多现象和测量结果。

1. ^ 如果你不知道光电效应，请参考高中物理课本。