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预备知识 玻尔兹曼因子配分函数
1. 结论
若一个系统的能量只能取一系列离散的值（能级），但相邻能级间距恰好为 $\varepsilon$，那么该系统在温度 $\tau$ 达到热平衡时，平均能量为
\begin{equation}
\left\langle \varepsilon \right\rangle = \frac{\varepsilon}{ \mathrm{e} ^{\varepsilon/\tau} - 1}~.
\end{equation}
2. 推导 1
令第 $n$ 个能级的能量为 $\varepsilon_n$，能量的平均值为
\begin{equation}
\left\langle \varepsilon \right\rangle = \frac{\sum\limits_{n = 0}^\infty \varepsilon_n \exp\left(-\varepsilon_n/\tau\right) }{\sum\limits_{n = 0}^\infty \exp\left(-\varepsilon_n/\tau\right) }~.
\end{equation}
其中 $\sum\limits_{n = 0}^\infty \exp\left(-\varepsilon_n/\tau\right) $ 就是配分函数 $Q$。
对于等间距能级，假设等间距能级 $\varepsilon_n = n\varepsilon$（也可以假设 $\varepsilon_n = \varepsilon_0 + n\varepsilon $，上式的分子分母都多出一个因子 $ \exp\left(-\varepsilon_0/\tau\right) $，最后的结果相同）。首先化简配分函数
\begin{equation}
Q = \sum_{n = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-n\varepsilon /\tau} = \sum_{n = 0}^\infty ( \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau})^n~.
\end{equation}
由于 $ \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau} < 1$，根据等比数列求和公式
\begin{equation}~.
Q = \frac{1}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon /\tau}}
\end{equation}
再化简分子
\begin{equation}
\sum_{n = 0}^\infty n\varepsilon \exp\left(-n\varepsilon /\tau\right) = \varepsilon \sum_{n = 0}^\infty n( \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau})^n~.
\end{equation}
令 $x = \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}$，有 $x < 1$。同样根据等比数列求和公式
\begin{equation}
\sum_{n = 0}^\infty n x^n = x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sum_{n = 0}^\infty x^n = x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(\frac{1}{1 - x} \right) = \frac{x}{(1 - x)^2}~.
\end{equation}
把 $x$ 换成 $ \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}$，
式 5 变为
\begin{equation}
\frac{\varepsilon \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}}{(1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau})^2}~.
\end{equation}
把分子分母代入平均值公式
式 2 得到最后结论
\begin{equation}
\left\langle \varepsilon \right\rangle = \left. \frac{\varepsilon \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}}{(1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau})^2} \middle/ \frac{1}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}} \right. = \frac{\varepsilon \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}} = \frac{\varepsilon}{ \mathrm{e} ^{\varepsilon/\tau} - 1}~.
\end{equation}
3. 推导 2
由式 4 已知配分函数
\begin{equation}
Q = \frac{1}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon/\tau}} = \frac{1}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon\beta}}~.
\end{equation}
我们也可以直接用能量均值公式
\begin{equation}
\left\langle \varepsilon \right\rangle = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q
= \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon\beta}\right) = \frac{\varepsilon \mathrm{e} ^{-\varepsilon\beta}}{1 - \mathrm{e} ^{-\varepsilon\beta}} = \frac{\varepsilon}{ \mathrm{e} ^{\varepsilon /\tau} - 1}~.
\end{equation}
结果相同。