相空间

贡献者： _Eden_; addis

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　统计力学的目标是从微观角度看待大量例子构成的系统，从还原论视角看待描述宏观量、宏观现象。统计力学的舞台是 “相空间”，相空间的维数很大，空间中的任意一点的坐标分量描述了每一个粒子的运动状态。下面我们将从最简单的模型出发介绍相空间。

1. 单个粒子的相空间

　　单个粒子（看做质点）的状态可以由 3 个位置坐标 $(x, y, z)$ 和三个动量坐标 $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ 来描述，为了便于拓展到一般情况，我们用 $q_{1} \equiv x$ ， $q_{2} \equiv y$ ， $q_{3} \equiv z$ 和 $p_{1} \equiv p_{x}$ ， $p_{2} \equiv p_{y}$ ， $p_{3} \equiv p_{z}$ 表示。想象一个由 3 个 $q_{i}$ 坐标和 3 个 $p_{i}$ 坐标组成的 $6$ 维空间（这就是单个粒子的相空间），体积元定义为

\begin{matrix} (1) & d Ω_{1} = d q_{1} d q_{2} d q_{3} \cdot d p_{1} d p_{2} d p_{3} . \end{matrix}

为了方便表示，简写为

d Ω_{1} = d^{3} q \cdot d^{3} p

。

\begin{matrix} (2) & Ω_{1} = \int_{Ω_{1}} d^{3} q d^{3} p, \end{matrix}

积分对所有可能的

q_{i}

和

p_{i}

进行。例如粒子若被限制在一个长宽高分别为

L_{x}, L_{y}, L_{z}

的盒子里，而动量没有限制，那么上面积分变为

\begin{matrix} (3) & Ω_{1} = \int_{0}^{L_{x}} \int_{0}^{L_{y}} \int_{0}^{L_{z}} \int d q_{1} d q_{2} d q_{3} d^{3} p = L_{x} L_{y} L_{z} \int d^{3} p . \end{matrix}

　　根据量子力学粒子坐标的不确定度 $Δ q$ 和与之共轭的动量的不确定度 $Δ p$ 满足 $Δ q Δ p \approx h$ ，因此一个状态实际上对应着相空间的相格，其体积为 $h^{3}$ ，所以（这里只提供一种理解，不是证明）一个小体积元中的微观状态数可以表示为

\begin{matrix} (4) & d Ω = \frac{1}{h^{3}} d q_{1} d q_{2} d q_{3} \cdot d p_{1} d p_{2} d p_{3} . \end{matrix}

2. 相空间

　　经典力学中，对于 $N$ 个粒子（看作质点）的系统，可以用 $3 N$ 个位置坐标和 $3 N$ 个动量坐标来完全描述系统的状态。则相空间为 $6 N$ 维空间。用 $f$ 表示系统的自由度（在这里 $f = 3 N$ ）， $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{f}$ 为它的 $N$ 个广义坐标， $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{f}$ 为与其共轭的广义动量，那么以　 $q_{1}, \dots, q_{f}, p_{1}, \dots, p_{f}$ 共 $2 f$ 个变量为直角坐标构成的 $2 f$ 维相空间。

　　系统在某一时刻的运动状态 $q_{1}, \dots, q_{f}, p_{1}, \dots, p_{f}$ 可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。

　　系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程：

\begin{matrix} (5) & \dot{q_{i}} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \dot{p_{i}} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}, i = 1, 2, \dots, f, \end{matrix}

　　其中 $H$ 为系统的哈密顿量。对于保守系统，哈密顿量就是它的能量，包括粒子的动能，粒子相互作用的势能和在保守外场中的势能。它是 $q_{1}, \dots, q_{f}, p_{1}, \dots, p_{f}$ 的函数，当存在外场时还是外场参量的函数，但不是时间 $t$ 的显函数。当系统运动状态随时间变化，式 5 决定了代表点在相空间中的运动轨道。轨道是永不自交的曲线（可能是封闭曲线），不同的轨道也互不相交。

　　对于孤立系统，能量 $E$ 不随时间改变，那么哈密顿量 $H (q_{1}, \dots, q_{f}; p_{1}, \dots, p_{f}) = E$ 确定了相空间中的一个曲面，称为 能量曲面。

　　现在考虑由 $N$ 个全同粒子组成的系统，那么在计算微观状态数时我们需要除以 $N!$ ：

\begin{matrix} (6) & Ω = \frac{1}{N! h^{3 N}} \int d^{3 N} q d^{3 N} p . \end{matrix}