2016 年考研数学试题(数学一)
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1. 选择题
- 若反常积分 收敛,则
(A) 且
(B) 且
(C) 且
(D) 且
- 已知函数 ,则 的一个原函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
- 若 是微分方程 的两个解,则
(A)
(B)
(C)
(D)
- 已知函数 则
(A) 是 的第一类间断点
(B) 是 的第二类间断点
(C) 在 处连续但不可导
(D) 在 处可导
- 设 是可逆矩阵,且 与 相似,则下列结论错误的是
(A) 与 相似
(B) 与 相似
(C) 与 相似
(D) 与 相似
- 设二次型 ,则 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
(A)单叶双曲面
(B)双叶双曲面
(C)椭球面
(D) 柱面
- 设随机变量 ~ ,记 ,则
(A) 随着 的增加而增加
(B) 随着 的增加而增加
(C) 随着 的增加而减少
(D) 随着 的增加而减少
- 随机试验 有三种两两不相容的结果 ,且三种结果发生的概率均为 ,将试验 独立重复做 2 次, 表示 2 次试验中结果 发生的次数, 表示 2 次试验中结果 发生的次数,则 与 的相关系数为
(A)-
(B)-
(C)
(D)
2. 填空题
- =
- 向量场 的旋度 =
- 设函数 可微, 由方程 确定,则 =
- 设函数 且 ,则
- 行列式 =
- 设 为来自总体 的简单随机样本,样本均值 ,参数 的置信度为 的双侧置信区间的置信上限为 ,则 的置信度为 的双侧置信区间为
3. 简答题
- 已知平面区域 ,计算二重积分 。
- 设函数 满足方程 ,其中 。
(1) 证明:反常积分 收敛;
(2)若 ,求 的值。
- 设函数 满足 ,且 , 是从点 到点 的光滑曲线。计算曲线积分 ,并求 的最小值。
- 设有界区域 由平面 与三个坐标平面围成, 为 整个表面的外侧,计算曲面积分 。
- 已知函数 可导,且 。设数列 满足 。证明:
(1)级数 绝对收敛;
(2) 存在,且
- 设矩阵 , 。当 为何值时,方程 无解,有唯一解,有无穷解?在有解时,求解此方程。
- 已知矩阵
(1)求 ;
(2)设 3 阶矩阵 满足 。记 ,将 分别表示为 的线性组合。
- 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布,令
(1)写出 的概率密度;
(2)问 与 是否相互独立?并说明理由;
(3)求 的分布函数
- 设总体 的概率密度为 。其中 为未知参数, 为来自总体 的简单随机样本,令 .
(1)求 的概率密度;
(2)确定 ,使得 为 的无偏估计。