2016 年考研数学试题(数学一)

                     

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1. 选择题

  1. 若反常积分 0+1xa(1+x)bdx 收敛,则 ()
    (A) a<1b>1 (B) a>1b<1
    (C) a<1a+b>1 (D) a>1a+b>1
  2. 已知函数 f(x)={2(x1),x<1lnx,x1,则 f(x) 的一个原函数是 ()
    (A)F(x)={(x1)2,x<1x(lnx1),x1
    (B)F(x)={(x1)2,x<1x(lnx+1)1,x1
    (C)F(x)={(x1)2,x<1x(lnx+1)+1,x1
    (D)F(x)={(x1)2,x<1x(lnx1)+1,x1
  3. y=(1+x2)21+x2,y=(1+x2)2+1+x2 是微分方程 y+p(x)y=q(x) 的两个解,则 q(x)=()
    (A) 3x(1+x2) (B) 3x(1+x2) (C) x1+x2 (D) x1+x2
  4. 已知函数 f(x)={x,x0,1n,1n+1<x1n,n=1,2,()
    (A) x=0f(x) 的第一类间断点
    (B) x=0f(x) 的第二类间断点
    (C) f(x)x=0 处连续但不可导
    (D) f(x)x=0 处可导
  5. A,B 是可逆矩阵,且 AB 相似,则下列结论错误的是 ()
    (A)ATBT 相似
    (B)A1B1 相似
    (C)A+ATB+BT 相似
    (D)A+A1B+B1 相似
  6. 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3 ,则 f(x1,x2,x3)=2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为 ()
    (A)单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C)椭球面 (D) 柱面
  7. 设随机变量 X~N(μ,σ2)(σ>0) ,记 p=P{Xμ+σ2},则 ()
    (A)p 随着 μ 的增加而增加 (B)p 随着 σ 的增加而增加
    (C)p 随着 μ 的增加而减少 (D)p 随着 σ 的增加而减少
  8. 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1,A2,A3,且三种结果发生的概率均为 13,将试验 E 独立重复做 2 次,X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数,Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数,则 XY 的相关系数为 ()
    (A)-12 (B)-13 (C)13 (D)12

2. 填空题

  1. limx00xtln(1+tsint)dt1cosx2=()
  2. 向量场 A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rotA =()
  3. 设函数 f(u,v) 可微,z=z(x,y) 由方程 (x+1)zy2=x2f(xz,y) 确定,则 dz|(0,1)=()
  4. 设函数 f(x)=arctanxx1+ax2f(0)=1,则 a=()
  5. 行列式 |λ1000λ1000λ1432λ+1|=()
  6. X1,x2,,Xn 为来自总体 N(μ,σ2) 的简单随机样本,样本均值 X¯=0.95 ,参数 μ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8,则 μ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 ()

3. 简答题

  1. 已知平面区域 D={(r,θ)|2r2(1+cosθ),π2θπ2} ,计算二重积分 Dxdxdy
  2. 设函数 y(x) 满足方程 y+2y+ky=0,其中 0<k<1
    (1) 证明:反常积分 0+y(x)dx 收敛;
    (2)若 y(0)=1,y(0)=1 ,求 0+y(x)dx 的值。
  3. 设函数 f(x,y) 满足 f(x,y)x=(2x+1)e2xy,且 f(0,y)=y+1Lt 是从点 (0,0) 到点 (1,t) 的光滑曲线。计算曲线积分 I(t)=Ltf(x,y)xdx+f(x,y)ydy,并求 I(t) 的最小值。
  4. 设有界区域 Ω 由平面 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成,ΣΩ 整个表面的外侧,计算曲面积分 I=Σ(x2+1)dydz2ydzdx+3zdxdy
  5. 已知函数 f(x) 可导,且 f(0)=1,0<f(x)<12。设数列 {xn} 满足 xn+1。证明:
    (1)级数 n=1(xn+1xn) 绝对收敛;
    (2)limn 存在,且 0<limnxn<2
  6. 设矩阵 A=(1112a111a),B=(221aa12) 。当 a 为何值时,方程 AX=B 无解,有唯一解,有无穷解?在有解时,求解此方程。
  7. 已知矩阵 A=(011230000)
    (1)求 A99;
    (2)设 3 阶矩阵 B=(a1,a2,a3) 满足 B2=BA。记 B100=(β1,β2,β3),将 β1,β2,β3 分别表示为 α1,α2,α3 的线性组合。
  8. 设二维随机变量 (X,Y) 在区域 D={(x,y)|0<x<1,x2<y<x} 上服从均匀分布,令 U={1,XY0,X>Y.
    (1)写出 (X,Y) 的概率密度;
    (2)问 UX 是否相互独立?并说明理由;
    (3)求 Z=U+X 的分布函数 F(z)
  9. 设总体 X 的概率密度为 f(x;θ)={3x2θ2,0<x<θ0,其他。其中 θ(0,+) 为未知参数,X1,X2,X3 为来自总体 X 的简单随机样本,令 T=max{X1,X2,X3}.
    (1)求 T 的概率密度;
    (2)确定 a,使得 aTθ 的无偏估计。

                     

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