2017 年考研数学试题(数学一)

                     

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1. 选择题

   1.若函数 f(x)={1cosxax,x>0b,x0x=0 处连续,则 ()
(A) ab=12 (B) ab=12 (c) ab=0 (D) ab=2

   2.设函数 f(x) 可导,且 f(x)f(x)>0,则 ()
(A) f(1)>f(1) (B) f(1)<f(1)
(c) |f(1)|>|f(1)| (D) |f(1)|<|f(1)|

   3.函数 f(x,y,z)=x2y+z2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n=(1,2,2) 的方向导数为 ()
(A) 12 (B) 6 (c) 4 (D) 2

   4.甲,乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中,实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t),三块阴影部分面积的数值依次是 10,20,3。计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位:s),则 ()

图
图 1

   (A) t0=10 (B) 15<t0<20 (c) t0=25 (D) t0>25

   5.设 αn 维单位列向量,En 阶单位矩阵,则 ()
(A) EααT 不可逆 (B) E+ααT 不可逆
(c) E+2ααT 不可逆 (D) E2ααT 不可逆

   6.已知矩阵 A=(200021001),B=(210020001),C=(100020002),则 ()
(A)AC 相似,BC 相似 (B)AC 相似,BC 不相似
(c)AC 不相似,BC 相似 (D)AC 不相似,BC 不相似

   7.设 A,B 为随机事件,若 0<P(A)<1,0<P(B)<1,则 P(A|B)>P(A|B¯) 的充分必要条件是 ()
(A)P(B|A)>P(B|A¯) (B)P(B|A)<P(B|A¯)
(c)P(B¯|A)>P(B|A¯) (D)P(B¯|A)<P(B|A¯)

   8.设 X1,X2,,Xn(n2) 为来自总体 N(μ,1) 的简单随机样本,记 X¯=1ni=1nXi,则下列结论中不正确的是 ()
(A)i=1n(Xiμ) 服从 χ2 分布 (B)2(XnX1)2 服从 χ2 分布
(c)i=1n(XiX¯) 服从 χ2 分布 (D)n(X¯μ)2 服从 χ2 分布

2. 填空题

   1.已知函数 f(x)=11+x2 ,则 f(3)(0)=()

   2.微分方程 y+2y+3y=0 的通解为 y=()

   3.若曲线积分 Lxdxaydyx2+y21 在区域 D={(x,y)|x2+y2<1} 内与路径无关,则 a=()

   4.幂级数 n=1(1)n1nxn1 在区间 (1,1) 内的和函数 S(x)=()

   5.设矩阵 A=(101112011)α1,α2,α3 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组 Aα1,Aα2,Aα3 的秩为 ()

   6.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.5Φ(x)+0.5Φ(x42) ,其中 Φ(x) 为标准正态分布函数,则 E(X)=()

3. 解答题

   1.设函数 f(u,v) 具有 2 阶连续偏导数,y=f(ex,cosx) ,求 dy dx|x=0,d2y dx2|x=0

   2.求 limnk=1nkn2ln(1+kn)

   3.已知函数 y(x) 由方程 x3+y33x+3y2=0 确定,求 y(x) 的极值。

   4.设函数 f(x) 在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数,且 f(1)>0,limx0+f(x)x<0, 证明:
(1).方程 f(x)=0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根;
(2).方程 f(x)f(x)+[f(x)]2=0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。

   5.设薄片型物体 S 是圆锥面 z=x2+y2 被柱面 z2=2x 割下的有限部分,其上任一点的密度为 μ(x,y,z)=9x2+y2+z2 。记圆锥面与柱面的交线为 C
(1).求 CxOy 平面上的投影曲线的方程;
(2).求 S 的质量 M

   6.设 3 阶矩阵 A=(α1,α2,α3) 有 3 个不同的特征值,且 α3=α1+2α2
(1).证明 r(A)=2
(2).设 β=α1+α2+α3 ,求方程组 Ax=β 的通解。

   7.设二次型 f(x1,x2,x3)=2x12x22+ax32+2x1x28x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 λ1y12+λ2y22 ,求 a 的值及一个正交矩阵 Q

   8.设随机变量 X,Y 相互独立,且 X 的概率分布为 P{X=0}=P{X=2}=12Y 的概率密度为 f(y)={2y,0<y<10,其他
(1).求 P{YE(Y)}
(2).求 Z=X+Y 的概率密度。

   9.某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做 n 次测量,该物体的质量 μ 是已知的。设 n 次测量结果 X1,X2,,Xn 相互独立且均服从正态分布 N(μ,σ2),该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Zi=|Xiμ|(i=1,2,,n) 。利用 Z1,Z2,,Zn 估计 σ
(1).求 Z1 的概率密度;
(2).利用一阶矩求 σ 的矩估计量;
(3).求 σ 的最大似然估计量。

                     

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