2017 年考研数学试题(数学一)
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1. 选择题
1.若函数 在 处连续,则
(A)
(B)
(c)
(D)
2.设函数 可导,且 ,则
(A)
(B)
(c)
(D)
3.函数 在点 处沿向量 的方向导数为
(A)
(B)
(c)
(D)
4.甲,乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中,实线表示甲的速度曲线 (单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线 ,三块阴影部分面积的数值依次是 10,20,3。计时开始后乙追上甲的时刻记为 (单位:s),则
图 1
(A)
(B)
(c)
(D)
5.设 为 维单位列向量, 为 阶单位矩阵,则
(A) 不可逆
(B) 不可逆
(c) 不可逆
(D) 不可逆
6.已知矩阵 ,则
(A) 与 相似, 与 相似
(B) 与 相似, 与 不相似
(c) 与 不相似, 与 相似
(D) 与 不相似, 与 不相似
7.设 为随机事件,若 ,则 的充分必要条件是
(A)
(B)
(c)
(D)
8.设 为来自总体 的简单随机样本,记 ,则下列结论中不正确的是
(A) 服从 分布
(B) 服从 分布
(c) 服从 分布
(D) 服从 分布
2. 填空题
1.已知函数 ,则 。
2.微分方程 的通解为 。
3.若曲线积分 在区域 内与路径无关,则 。
4.幂级数 在区间 内的和函数 。
5.设矩阵 , 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组 的秩为 。
6.设随机变量 的分布函数为 ,其中 为标准正态分布函数,则 。
3. 解答题
1.设函数 具有 2 阶连续偏导数, ,求
。
2.求 。
3.已知函数 由方程 确定,求 的极值。
4.设函数 在区间 上具有 2 阶导数,且 , 证明:
(1).方程 在区间 内至少存在一个实根;
(2).方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
5.设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分,其上任一点的密度为 。记圆锥面与柱面的交线为 。
(1).求 在 平面上的投影曲线的方程;
(2).求 的质量 。
6.设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值,且 。
(1).证明 ;
(2).设 ,求方程组 的通解。
7.设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,求 的值及一个正交矩阵 。
8.设随机变量 相互独立,且 的概率分布为 , 的概率密度为 。
(1).求 ;
(2).求 的概率密度。
9.某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做 次测量,该物体的质量 是已知的。设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 ,该工程师记录的是 次测量的绝对误差 。利用 估计 。
(1).求 的概率密度;
(2).利用一阶矩求 的矩估计量;
(3).求 的最大似然估计量。