2014 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

下列曲线中有渐近线的是 $(\quad)$
(A) $y=x+\sin x$
(B) $y=x^2+\sin x$
(C) $y=x+\sin \frac{1}{x}$
(D) $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$ ，则在区间 [0,1] 上 $(\quad)$
(A)当 $f'(x) \ge 0$ 时，$f(x)\ge g(x)$
(B)当 $f'(x) \ge 0$ 时，$f(x)\le g(x)$
(C)当 $f''(x) \ge 0$ 时，$f(x)\ge g(x)$
(D)当 $f''(x) \ge 0$ 时，$f(x)\le g(x)$
设 $f(x)$ 是连续函数，则 $\displaystyle \int_0^1 \,\mathrm{d}{y} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y) \,\mathrm{d}{x} $=$(\quad)$
(A) $\displaystyle \int_0^1 \,\mathrm{d}{x} \int_0^{x-1}f(x,y) \,\mathrm{d}{y} +\int_{-1}^0 \,\mathrm{d}{x} \int_0^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y) \,\mathrm{d}{y} $
(B)$\displaystyle \int_0^1 \,\mathrm{d}{x} \int_0^{1-x}f(x,y) \,\mathrm{d}{y} +\int_{-1}^0 \,\mathrm{d}{x} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0f(x,y) \,\mathrm{d}{y} $
(C) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta}}f(r\cos \theta,r\sin \theta) \,\mathrm{d}{r} +\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^1 f(r\cos \theta,r\sin \theta) \,\mathrm{d}{r} $
(D) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta}}f(r\cos \theta,r\sin \theta)r \,\mathrm{d}{r} +\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^1 f(r\cos \theta,r\sin \theta)r \,\mathrm{d}{r} $
若 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi (x-a_1\cos x-b_1\sin x)^2 \,\mathrm{d}{x} =\min_{a,b \in R}\{\int_{-\pi}^\pi (x-a\cos x-b\sin x)^2 \,\mathrm{d}{x} \}$，则 $a_1\cos x+b_1\sin x$=$(\quad)$
(A) $2\sin x $
(B) $2\cos x$
(C) $2\pi \sin x$
(D) $2\pi \cos x$
行列式 $ \left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=(\quad)$
(A) $(ad-bc)^2$
(B) $-(ad-bc)^2$
(C) $a^2d^2-b^2c^2$
(D) $b^2c^2-a^2d^2$
设 $a_1,a_2,a_3$ 均为 3 维向量，则对任意常数 $k,l$ 向量组 $a_1+ka_3,a_2+la_3$ 线性无关是向量组 $a_1,a_2,a_3$ 线性有关的 $(\quad)$
(A) 必要非充分条件
(B) 充分并非必要条件
(C) 充分必要条件
(D) 既非充分也非必要条件
设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(B)=0.5,P(A-B)=0.3$，则 $P(B-A)=$ $(\quad)$
(A)0.1
(B)0.2
(C)0.3
(D)0.4
设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在，$X_1$ 与 $X_2$ 概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}[f_1(y)+f_2(y)]$，随机变量 $Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)$，则 $(\quad)$
(A) $E(Y_1)>E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)$
(B) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)=D(Y_2)$
(C) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)< D(Y_2)$
(D) $E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)$

2. 填空题

曲面 $z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$ 在点 (1,0,1) 处的切平面方程为 $(\quad)$
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f'(x)=2(x-1),x \in [0,2]$ 则 $f(7)$=$(\quad)$
微分方程 $xy'+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=e^3$ 的解为 $y=$ $(\quad)$
设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle \oint_L z \,\mathrm{d}{x} +y \,\mathrm{d}{z} $=$(\quad)$
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2ax_1x_3+4x_2x_3$ 的负惯性指数为 1，则 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta)= \left\{\begin{aligned} &\frac{2x}{3\theta^2},&\theta< x<2\theta \\ &0,&\text{其他} \end{aligned}\right. $，其中 $\theta$ 是未知参数，$X_1,X_2,\dots,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $\displaystyle c\sum_{n=1}^\infty X_i^2$ 是 $\theta^2$ 的无偏差估计，则 $c=(\quad)$

3. 解答题

求极限 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{\int_{1 }^{x} [t^2(e^{\frac{1}{t}-1})-t] \,\mathrm{d}{t} }{x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) }$.
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^3+xy+x^2y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值。
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续倒数，$z=f(e^x\cos y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} =(4z+e^x\cos y)e^{2x}$ 。若 $f(0)=0,f'(0)=0$，求 $f(u)$ 的表达式。
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^2+y^2(z\le 1)$ 的上侧，计算曲面积分 $\displaystyle I= \iint_\Sigma(x-1)^3 \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} +(y-1)^3 \,\mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}{x} +(z-1) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $
设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $\displaystyle 0< a_n<\frac{\pi}{2},0< b_n<\frac{\pi}{2},\cos a_n-a_n=\cos b_n$，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛。
(1)证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0;$
(2)证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b_n}$ 收敛。
设 $A$= $ \begin{pmatrix}0&-2&3&-4\\0&1&-1&1\\1&2&0&-3\end{pmatrix} $，$ E$ 为 3 阶单位矩阵。
(1)求方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系；
(2)求满足 $AB=E$ 的所有矩阵
证明 $n$ 阶矩阵 $ \begin{pmatrix}1&1&\dots&1\\1&1&\dots&1\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&1&\dots&1\end{pmatrix} $ 与 $ \begin{pmatrix}0&0&\dots&1\\0&0&\dots&2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\dots&n\end{pmatrix} $ 相似。
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=1}=P{X=2}=\frac{1}{2}$。在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0,i)(i=1,2)$。
(1)求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$;
(2)求 $E(Y)$.
设总体 $X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x;\theta)= \left\{\begin{aligned} &1-e^{-\frac{x^2}{\theta}},&x \ge 0\\&0, &x<0 \end{aligned}\right. $，其中 $\theta$ 是未知参数且大于零。$X_1,X_2,\dots,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。
(1)求 $E(X)$ 与 $ E(X^2)$;
(2)求 $\theta$ 的最大似然估计量 $ \hat{\theta} _n$;
(3)是否存在实数 $a$ 使得对任何 $\varepsilon>0 $，都有 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} P\{ \left\lvert \hat{\theta} _n -a \ge \varepsilon \right\rvert \}=0$？