2013 年考研数学试题（数学一）

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1. 选择题

已知极限 $\lim_{n\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c$，其中 $k,c$ 为常数，且 $c \neq 0$，则 ($\quad$)
(A) $\displaystyle k=2,c=-\frac{1}{2}$
(B) $\displaystyle k=2,c=\frac{1}{2}$
(C) $\displaystyle k=3,c=-\frac{1}{3}$
(D) $\displaystyle k=3,c=\frac{1}{3}$
曲面 $x^2+ \cos\left(xy\right) +yz+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为 ($\quad$)
(A) $x-y+z=-2$
(B) $x+y+z=0$
(C) $x-2y+z=-3$
(D) $x-y-z=0$
设 $\displaystyle f(x)= \left\lvert x-\frac{1}{2} \right\rvert ,b_n=2\int_{0}^{1}f(x)\sin n\pi x \,\mathrm{d}{x} (n=1,2,\dots)$，令 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\pi x$，则 $S(-\frac{9}{4})$ =($\quad$)
(A) $\displaystyle \frac{3}{4}$
(B) $\displaystyle \frac{1}{4}$
(C) $\displaystyle -\frac{1}{4}$
(D) $\displaystyle -\frac{3}{4}$
设 $L_1:x^2+y^2=1,L_2:x^2+y^2=2, L_3:x^2+2y^2=2, L_4:2x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 $\displaystyle I_i=\oint_{L_i}(y+\frac{y^3}{6}) \,\mathrm{d}{x} +(2x-\frac{x^3}{3}) \,\mathrm{d}{y} \quad (i=1,2,3,4)$ ，则 $max\{I_1,I_2,I_3,I_4\}$ =($\quad$)
(A) $I_1$
(B) $I_2$
(C) $I_3$
(D) $I_4$
设 $ \boldsymbol{\mathbf{A,B,C}} $ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $ \boldsymbol{\mathbf{AB=C}} $，且 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 可逆，则($\quad$)
(A) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价
(B) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价
(C) 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
(D) 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
矩阵 $ \begin{pmatrix}1&a&1\\a&b&a\\1&a&1\end{pmatrix} $ 与 $ \begin{pmatrix}2&0&0\\0&b&0\\0&0&0\end{pmatrix} $ 相似的充分必要条件为 ($\quad$)
(A) $a=0,b=2$
(B) $a=0,b$ 为任意常数
(C) $a=2,b=0$
(D) $a=2,b$ 为任意常数
设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量，且 $X_1 $~ $N(0,1)$,$X_2 $~ $N(0,2^2)$,$X_3 $~ $N(5,3^2)$，$p_i=P\{-2 \le X_i \le2\}\quad (i=1,2,3)$ 则($\quad$)
(A) $p_1>p_2>p_3$
(B) $p_2>p_1>p_3$
(C) $p_3>p_1>p_2$
(D) $p_1>p_3>p_2$
设随机变量 $X$~ $t(n)$，$Y$~ $F(1,n)$ 给定 $\alpha(0< a<0.5)$，常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$ 则 $P\{Y>c^2\}=$ ($\quad$)
(A) $\alpha$
(B) $1-\alpha$
(C) $2\alpha$
(D) $1-2\alpha $

2. 填空题

设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 确定，则 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n[f(\frac{1}{n})-1]$ = ($\quad$)
已知 $y_1=e^{3x}-xe^{2x},y_2=e^x-xe^{2x},y_3=-xe^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 $y$ =($\quad$)
设 $ \left\{\begin{aligned} &x=\sin t,\\&y=t\sin t+\cos t \end{aligned}\right. $ (t 为参数)，则 $\displaystyle \left. \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \right\rvert _{t =\frac{\pi}{4}}$=($\quad$)
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{(1+x)^2} \,\mathrm{d}{x} $=($\quad$)
设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij}) $ 是三阶非零矩阵，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij}+A_{ij}=0 \quad (i,j=1,2,3)$，则 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $=($\quad$)
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \le a+1|Y>a\}$=($\quad$)

3. 解答题

计算 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}$，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}\frac{ \ln\left(t+1\right) }{t} \,\mathrm{d}{t} $.
设数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_0=3,a_1=1,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，$S(x)$ 是幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数。
(1)证明 $S''(x)-S(x)=0$;
(2)求 $S(x)$ 的表达式.
求函数 $\displaystyle f(x,y)=(y+\frac{x^3}{3})e^{x+y}$ 的极值.
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$，证明:
(1)存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f'(\xi)=1$;
(2)存在 $\eta \in (-1,1)$，使得 $f''(\eta)+f'(\eta)=1$.
设直线 $L$ 过 $A(1,0,0),B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma$, $\Sigma$ 与平面 $z=0,z=2$ 所围成的立体为 $\Omega$.
(1)求曲面 $\Sigma$ 的方程;
(2)求 $\Omega$ 的形心坐标。
设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1&a\\1&b\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}0&1\\1&b\end{pmatrix} $，当 $a,b$ 为何值时，存在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 使得 $ \boldsymbol{\mathbf{AC-CA=B}} $，并求所有矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ .
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2+(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)^2$ ，记
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} ~ \end{equation}
(1)证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{2\alpha\alpha ^{\mathrm{T}} +2\beta\beta ^{\mathrm{T}} }} $;
(2)若 $\alpha,\beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{9}x^2,&0< x<3\\&0,& \text{其他,} \end{aligned}\right. $ 令随机变量 $Y= \left\{\begin{aligned} &2,\quad X\le 1\\&X,\quad 1< X<2\\&1,\quad X \ge 2, \end{aligned}\right. $
(1)求 $Y$ 的分布函数；
(2)求概率 $P\{X \le Y\}$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta)= \left\{\begin{aligned} &\frac{\theta^2}{x^3}e^{-\frac{\theta}{x}},&x>0\\&0,&\text{其他} \end{aligned}\right. $，其中 $\theta$ 为未知参数且大于零。$X_1,X_2,\dots,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。
(1)求 $\theta$ 的矩阵估计量;
(2)求 $\theta$ 的最大似然估计量。