抛物线坐标系中的类氢原子定态波函数

贡献者： addis

预备知识　定态薛定谔方程，抛物线坐标系

　　¹本文使用原子单位制。使用相对坐标，令约化质量为 $μ$ ，有

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 μ} \nabla^{2} ψ - \frac{Z}{r} ψ = E ψ . \end{matrix}

在抛物线坐标系中变为

\begin{matrix} (2) & - \frac{1}{2 m} {\frac{4}{ξ + η} [\frac{\partial u}{\partial ξ} (ξ \frac{\partial}{\partial ξ}) + \frac{\partial u}{\partial η} (η \frac{\partial}{\partial η})] + \frac{1}{ξ η} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}}} ψ - \frac{2 Z}{ξ + η} ψ = E ψ . \end{matrix}

分离变量，令

\begin{matrix} (3) & ψ (ξ, η, ϕ) = f (ξ) g (η) Φ (ϕ) . \end{matrix}

和球坐标同理，

Φ (ϕ) = \exp (i m ϕ)

。令另外两个分离变量常数满足

\begin{matrix} (4) & ν_{1} + ν_{2} = Z . \end{matrix}

有

\begin{matrix} (5) & \frac{d}{d ξ} (ξ \frac{d f}{d ξ}) + (\frac{μ E ξ}{2} - \frac{m^{2}}{4 ξ} + ν_{1}) f = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d η} (η \frac{d g}{d η}) + (\frac{μ E η}{2} - \frac{m^{2}}{4 η} + ν_{2}) g = 0, \end{matrix}

可以化简为 Kummer-Laplace 微分方程。解出后，

ν_{1}, ν_{2}

分别对应两个整数

n_{1}, n_{2}

，称为抛物线量子数，和主量子数

n

的关系为

\begin{matrix} (7) & n = n_{1} + n_{2} + | m | + 1 . \end{matrix}

令

ρ_{1} = Z ξ / n

，

ρ_{2} = Z η / n

，定态波函数为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} ψ_{n_{1}, n_{2}, m} (ξ, η, ϕ) & = \frac{(Z / a_{μ})^{3 / 2}}{\sqrt{π} n^{2}} \sqrt{\frac{n_{1}! n_{2}!}{[(n_{1} + | m |)! (n_{2} + | m |)!]^{3}}} \\ \times e^{- (ρ_{1} + ρ_{2}) / 2} (ρ_{1} ρ_{2})^{| m | / 2} L_{n_{1} + | m |}^{| m |} (ρ_{1}) L_{n_{2} + | m |}^{| m |} (ρ_{2}) e^{i m ϕ}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

a_{μ} = M / (M + 1)

是约化玻尔半径（未完成）。

　　能量本征值为

\begin{matrix} (9) & E_{n} = - \frac{Z^{2}}{2 n^{2}} . \end{matrix}

1. ^ 参考 [1] Chap. 3.5 One-electron atoms in parabolic coordinates.

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed