北京大学 2005 年 考研 量子力学

                     

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　　 1.（60 分）简答题，可直接写出结果。

　　 (a) 约化普朗克常量 $\hslash =?$

　　 (b) 氢原子、二维谐振子、三维谐振子的简并度分别为？

　　 (c) 一维谐振子、二维谐振子的第一激发态的节拍数分别为？

　　 (d) 已知 $l_{\pm }=l_x\pm i{l}_y$，求 $[l_{+},l_{-}]$，$[l^2,l_{+}]$。

　　 (e) 求 $[\hat{p},\frac{1}{r}]$，$[\hat{p},r^2]$。

　　 (f) 在 $x$ 表象中自旋本征值为 $x_0$ 的坐标波函数和动量波函数。

　　 (g) 在 $p$ 表象中自旋本征值为 $p_0$ 的坐标波函数和动量波函数。

　　 (h) 求 ${\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y$ 的共同本征态。

　　 (i) 在相似表象中求 $e^i\frac{\pi }{4}{\sigma }_x\alpha$，其中 $\alpha$ 是 $S_z=\frac{\hslash }{2}$ 的自旋态。

　　 (j) 写出二维谐振子的两个自量子量完全集。

　　 (k) 粒子处于势 $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ 中，试在动量表象中写出其薛定谔方程。

　　 2.（40 分）简答题，可直接写出结果。

　　 (a)在自然单位制下，已知相位差为 $V(x)=\frac{1}{2}(x-a{)}^2$, 能量本征值为 $\frac{13}{2}$, 在此能量本征态下 $x,\hat{p},x^2,{\hat{p}}^2$ 的平均值。

　　 (b)证明 $F-H$ 定理，即 $\left(\frac{\partial E_n}{\partial \lambda }\right)={\overline{(\frac{\partial H}{\partial \lambda })}}_n$。

　　 (c)$\alpha ,\beta$ 是自旋向上、向下态,有归一化本征函数 $\mathrm{\Psi }=c_1\alpha +c_2\beta$,求算符 $\frac{1}{6}{\hat{s}}_x^2+\frac{5}{6}{\hat{s}}_y^2$ 在态 $\mathrm{\Psi }$ 中的平均值。

　　 (d) 已知波函数 $\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{2\pi }{b}}\sin bx& |x|\le \frac{2\pi }{b}\\ 0& |x|>\frac{2\pi }{b}\end{array}$，试求动量的本征值及其几率振幅。

　　 (e) 试在自然单位下求氢原子的 $\frac{1}{r},\frac{1}{r^2}$ 的平均值和径向动能。

　　 3. (10 分) 在薛定谔表象中，坐标、动量算符用 ${\hat{x}}_S,{\hat{p}}_S$ 表示，试在海森堡表象中求解坐标、动量算符 ${\hat{x}}_H,{\hat{p}}_H$ 的表达式，要求用 ${\hat{x}}_S,{\hat{p}}_S$ 表示。

　　 4. (22 分)

　　 (a) 体系处于 $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ 的第 $n$ 个本征态 ${\psi }_n(x)$ 中，有两个自旋 $s=0$ 的全同粒子处于上述势中，试求最低的四个能量本征值，本征函数及其简并度。

　　 (b) 在势场 $V(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2& x\ge 0\\ \mathrm{\infty }& x>0\end{array}$ 中，有两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，试求最低的四个能量本征值，本征函数及其简并度。

　　 4. (18 分)

　　 (a)已知 ${\hat{I}}_z=\hslash \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，试求 ${\hat{I}}_x$ 的矩阵表示及其本征值、本征态。

　　 (b) 在 ${\hat{l}}_y$ 的本征值为 $\frac{\hslash }{2}$ 的本征态中测量 ${\hat{l}}_x$ 的可能值及其相应的几率。