北京大学 2004 年 考研 量子力学

                     

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1. (15 分)

　　 (a) 解释态叠加原理，给出性原理和态的统计解释。

　　 (b) 写出由薛定谔方程一阶近似得到的二级能量修正公式。

　　 (c) 在中心立场中，径向波函数 $R_{10}(r)$, $R_{20}(r)$, $R_{12}(r)$ 各有几个零点。

　　 (d) 什么叫定态？有哪些量的特征态的线性组合加的态是否是定态？

　　 (e) 简述并解释费曼规则。

　　 (f) 解释（正常）塞曼效应及其多普勒效应。

2. 10 分

　　 (a) 氢原子和谐振子的某套态波函数集是否是完备的？

　　 (b) 在外电磁场的下，求电子在其中的哈密顿量。

　　 (c) 两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子处于一维无限深势阱中，试求两粒子处于基态的总自旋波函数。

　　 (d)${\hat{\sigma }}_{\pm }={\hat{\sigma }}_x\pm i{\hat{\sigma }}_y$, 求 ${\hat{\sigma }}_{\pm }^2,({\hat{\sigma }}_{+}{\hat{\sigma }}_{-}{)}^2$。

　　 (e)${\hat{L}}_{\pm }={\hat{L}}_x\pm i{\hat{L}}_y$, 求 $[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_{\pm }],[{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}],[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_{\pm }]$。

　　 (f) 在中心立场中，基态的轨道角动量为何值？并做简要解释。

3. 16 分

　　 在 $({\hat{\overrightarrow{S}}}^2,{\hat{S}}_z)$ 表象中,

　　 (a) 求 ${\hat{\overrightarrow{S}}}^2,{\hat{S}}_z$ 的共同本征态及其对应的本征函数,

　　 (b) ${\hat{S}}_y,{\hat{S}}_y^2$ 在 (a) 中所求各态中的平均值.

4. 11 分

　　 已知薛定谔定常方程：$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\overrightarrow{\mathbf{r}})]\mathrm{\Psi }$，试求动量表象中的薛定谔方程。

5. 16 分

　　 已知两个电子均处于单量子态 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的方空间任意态 $(\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a})$, $(\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{b})$，求在上述单态中的平均值。

6. 11 分

　　 已知 $\mathrm{\Psi }(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}{e}^{-\frac{|x|}{a}}$, 且有 $|x|\to \mathrm{\infty }$, 有 $V(x)\to 0$,试求势能 $V(x)$ 的具体表示。

7. 11 分

　　 已知 5 个自旋为 1，质量为 $m$ 的全同粒子处于一个平面上的半径为 $R$ 的一个圆周，并且这 5 个粒子组成正 5 边形，5 个粒子绕通过圆心的轴线转动而构成转动体系。

　　 (a)写出上述体系的哈密顿量，并讨论守恒量有哪些。

　　 (b)求出上述体系的本征值和本征函数。