贡献者： 零穹; Giacomo
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若函数系
\begin{equation}
\left\{\varphi_n(x) \right\} \quad(n\in \mathbb{N})~
\end{equation}
中各函数及其平方在区间 $ \left[a,b \right] $ 上皆可积分，且满足
\begin{equation}
\int_a^b\varphi_n(x)\varphi_m(x) \,\mathrm{d}{x} =
\left\{
\begin{aligned}
&0\quad &(m\neq n)\\
&\lambda_n>0\quad &(m=n)~,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 为
正交函数系。当 $\lambda_n=1(n\in\mathbb{N})$ 时，该函数系称为
正交规范系(或
正交标准系)。显然，任意的正交函数系都可化为正交规范系
\begin{equation}
\left\{\frac{\varphi_n(x)}{\sqrt{\lambda_n}} \right\} \quad(n\in \mathbb{N})~.
\end{equation}
设 $f(x)$ 是任一实函数，在区间 $[a,b]$ 内是连续的，则数值
\begin{equation}
c_k=\frac{1}{\lambda_k}\int_a^b f(x)\varphi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \quad (k\in \mathbb{N})~
\end{equation}
称为函数 $f(x)$ 关于函数系
式 1 的
傅里叶系数。由 $c_k$ 的定义，我们有等式
\begin{equation}
\int_a^b \left[f(x)-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^nc_k^2\lambda_k~.
\end{equation}
根据式 5 ，可得
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty c_k^2\lambda_k\leq\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
对于正交规范系，$\lambda_k=1$，此时
式 6 便是所谓的
贝塞尔（bessel）不等式.
若对任何在区间 $[a,b]$ 定义的连续函数 $f(x)$，式 6 中的等号成立，则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 是完整的(或完备的)。
1. 例子
可以证明：
- 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上，三角函数系
\begin{equation}
\left\{1,\cos nx,\sin nx \right\} \quad(n\in \mathbb{Z^{+}})~
\end{equation}
- 由超越方程
\begin{equation}
\tan\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant})~
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\frac{\xi_1}{l}x,\ \sin\frac{\xi_2}{l}x,\ \cdots,\ \sin\frac{\xi_n}{l}x,\ \cdots~
\end{equation}
同样，以超越方程
\begin{equation}
\cot\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant})~
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\frac{\xi'_1}{l}x,\ \cos\frac{\xi'_2}{l}x,\ \cdots,\ \cos\frac{\xi'_n}{l}x,\ \cdots~
\end{equation}
- 勒让德多项式
\begin{equation}
X_0(x)=1,X_n(x)=\frac{1}{2^nn!} \frac{\mathrm{d}^{n}{ \left(x^2-1 \right) ^n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \qquad(n=1,2,\cdots)~
\end{equation}
- 以贝塞尔函数 $J_0(x)$ 的所有正根构成的集合 $ \left\{\xi_n\vert n\in\mathbb{Z}^+ \right\} $
构造的函数系 $ \left\{\sqrt{x}J_0(\xi_n x) \right\} $ 在区间 $ \left[0,1 \right] $ 上是正交函数系。
2. 线性无关函数的正交化
在线性代数里面，通过斯密特正交化(子节 2 )手续，可由 $N$ 个线性无关的向量构造出同样多个两两正交且标准的向量，使原来的向量可由新向量线性表出。这一切对函数来说完全适用。
$N$ 个在区间 $[a,b]$ 上定义的连续函数 $\psi_i(x)\quad (i=1,\cdots ,N)$ 称为在区间 $[a,b]$ 线性无关的，若含常系数 $a_i$ 的关系式
\begin{equation}
\sum_i^N a_i\psi_i(x)=0~,
\end{equation}
仅当 $a_i=0$ 时成立。现在来作在区间 $[a,b]$ 上可由 ${\psi_i(x)}$ 线性表示的正交标准化的函数 ${\varphi_i(x)}$。
记（显然，这里 $ \left\langle *,* \right\rangle $ 相当于矢量空间中的内积）
\begin{equation}
\left\langle f,F \right\rangle =\int_a^b f(x)F(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
函数 ${\psi_i(x)}$ 的正交化过程可按如下方式进行（为简洁起见，将函数 $f(x)$ 简记为 $f$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&&\varphi_1=\frac{\psi_1}{\sqrt{ \left\langle \psi_1,\psi_1 \right\rangle }}\\
\chi_2&=\psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1,\quad&\varphi_2=\frac{\chi_2}{\sqrt{ \left\langle \chi_2,\chi_2 \right\rangle }}\\
\chi_3&=\psi_3- \left\langle \varphi_1,\psi_3 \right\rangle \varphi_1- \left\langle \varphi_2,\psi_3 \right\rangle \varphi_2,\quad &\varphi_3=\frac{\chi_3}{\sqrt{ \left\langle \chi_3,\chi_3 \right\rangle }}\\
&\vdots &\vdots
\\
\chi_N&=\psi_N-\sum_{i=1}^N \left\langle \varphi_i,\psi_N \right\rangle \varphi_i,\quad&\varphi_N=\frac{\chi_N}{\sqrt{ \left\langle \chi_N,\chi_N \right\rangle }}~.
\end{aligned}
\end{equation}
在函数 $\chi_i$ 中，没有一个可变为恒等于 0，即 $ \left\langle \chi_i,\chi_i \right\rangle \neq 0$。因为比如说 $\chi_2=0$，则 $\varphi_1$ 与 $\psi_2$ 线性相关
\begin{equation}
\psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1=0~.
\end{equation}
这归结为 $\psi_1$ 与 $\psi_2$ 之间线性相关，这与条件 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 的线性无关矛盾。
3. 推广到复函数情形
上面关于实函数的一切，可立即推广到实变量 $x$ 的复函数情形
\begin{equation}
\varphi_n(x)=\rho_n(x)+ \mathrm{i} \sigma_n(x)\quad(n\in \mathbb{Z}^+)~.
\end{equation}
这时函数系的正交标准性由下式表达
\begin{equation}
\left\langle \varphi_m,\varphi_n \right\rangle =\int_a^b\varphi_m^*\varphi_n \,\mathrm{d}{x} =\left\{
\begin{aligned}
&0 \quad (p\neq q)\\
&1 \quad (p=q)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
复函数 $\varphi_n(x)$ 关于函数 $f(x)$ 的傅里叶系数为
\begin{equation}
c_n= \left\langle \varphi_n,f \right\rangle ~.
\end{equation}
我们处处以模平方代替原值平方，
式 5 将是
\begin{equation}
\int_a^b \left\lvert f-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^n \left\lvert c_k \right\rvert ^2~,
\end{equation}
而贝塞尔不等式将是
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \left\lvert c_k \right\rvert ^2\leq\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
1. ^ $\Gamma$. M. 菲赫金哥尔茨。微积分学教程 卷三[M].北京：高等教育出版社，2006:345-349
2. ^ 斯米尔诺夫。斯米尔诺夫高等数学卷四第一分册[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018:6-12