贡献者： JierPeter
预备知识 一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）
，拉普拉斯变换与常系数线性微分方程
在拉普拉斯变换与常系数线性微分方程中，我们讨论了高阶常系数线性微分方程的解法，通过拉普拉斯变换，将高阶微分方程化为代数方程进行求解。但是很多时候，单个的高阶微分方程也是可以化为多个一阶方程的，从而可以应用一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）中的方法来进行求解。
一般地，$n$ 阶微分方程可以写为
\begin{equation}
F(t, x(t),\ \ \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x(t),\ \cdots, \ \frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0~,
\end{equation}
接下来，我们介绍几种可以降阶的方程。
1. 第一种
如果式 1 不显含 $x$ 的 $k$ 次及以下导函数，即方程形式为
\begin{equation}
F(t, \frac{\mathrm{d}^{k+1}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{k+1}}x(t),\ \frac{\mathrm{d}^{k+2}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{+2}}x(t),\ \cdots,\ \frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0~,
\end{equation}
那么我们可以设 $y=\frac{\mathrm{d}^k}{ \,\mathrm{d}{t} ^k}x$，解出 $y$ 以后再求 $k$ 次积分得到 $x$。
例 1
求解方程
\begin{equation}
\left(
\frac{\mathrm{d}^4}{ \,\mathrm{d}{t} ^4}+\frac{1}{t}\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3}
\right)
x(t)=0~,
\end{equation}
令 $y=\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3}x(t)$，则式 3 化为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} }+\frac{1}{t}y=0~,
\end{equation}
解得
\begin{equation}
y=\pm\frac{C}{t}~.
\end{equation}
三次积分后得到
\begin{equation}
x=t^2(C_1\ln \left\lvert t \right\rvert -C_2)+C_3t+C_4~.
\end{equation}
2. 第二种
如果式 1 不显含 $t$，即方程形式为
\begin{equation}
F(x(t), \frac{\mathrm{d}}{ \,\mathrm{d}{t} }x(t), \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x(t)+\cdots+\frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0~,
\end{equation}
那么我们可以设 $y=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }$，以 $y$ 为未知函数。此时 $\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }y=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=y\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$。类似地，$\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3}x=y \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+y^2\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}$。一般地，我们可以证明任何 $\frac{\mathrm{d}^k}{ \,\mathrm{d}{t} ^k}x$ 都可以用 $y$ 和 $y$ 关于 $x$ 的各阶导函数表示出来。这样改造以后的
式 7 就成为形如
\begin{equation}
G(y, \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }y+\cdots+\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{n-1}})=0~
\end{equation}
的方程，降了一阶。
例 2
考虑方程
\begin{equation}
x\frac{\mathrm{d}^2 x}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=0~,
\end{equation}
令 $y=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }$，则
式 9 化为
\begin{equation}
xy\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+y=0~,
\end{equation}
整理得
\begin{equation}
y \,\mathrm{d}{x} +xy \,\mathrm{d}{y} =0~.
\end{equation}
容易验证，$y=0$ 是式 10 的一个特解。
$y=0$ 时有
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=0~,
\end{equation}
从而有特解
\begin{equation}
x=C~.
\end{equation}
现在考虑 $y\neq 0$ 的情况，此时可以把 $y$ 约掉，得到
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{x} +x \,\mathrm{d}{y} =0~,
\end{equation}
解得
\begin{equation}
y=C-\ln \left\lvert x \right\rvert ~,
\end{equation}
从而有
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=C-\ln \left\lvert x \right\rvert ~.
\end{equation}
求积分即可得到 $x\neq 0$ 时的通解。
注意，$\int\frac{1}{C-\ln \left\lvert x \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} $ 无法用初等函数表示出来，这里写出这个积分形式就算得到通解了。事实上，很多微分方程都没法写成初等函数的表达式，比如最常见的单摆运动方程（未进行线性近似的原始形式），因此实践中常注重数值计算，以及相应的解的稳定性问题。
3. 例题
例 3 第二宇宙速度
在地球表面，引力的变化很小，所以我们可以近似把它看成匀强引力场，方便计算。但是如果考虑范围远不止是地球表面，就不得不考虑引力随距离的变化了。
我们现在考虑的问题是，如果一个质点的速度始终平行于地球到该质点的位移（即一维情况），那么质点的运动轨迹是什么样的？
令 $R$ 为地球半径，$M$ 为地球质量，$G$ 为万有引力常数，$r$ 为质点到地球质心的距离。我们只考虑 $r\geq R$ 的情况，忽略空气阻力，那么此时质点仅受地球引力作用，故可以列出运动方程：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}r(t)=-\frac{GM}{r^2}~.
\end{equation}
注意 $G$ 是正数。
令 $\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{t} }=v$，那么方程可以改写为（注意，被抛弃的变量是时间 $t$）
\begin{equation}
v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{r} }=-\frac{GM}{r^2}~.
\end{equation}
解式 18 得
\begin{equation}
v=\pm\sqrt{\frac{2GM}{r}+C}~.
\end{equation}
考虑在地面上垂直向上发射的火箭，初速度为 $v_0$，即初值条件为 $v|_{r=R}=v_0$，那么代入式 19 可以计算出常数 $C$：
\begin{equation}
C=v_0^2-\frac{2GM}{R}~,
\end{equation}
此时
\begin{equation}
v=\pm\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})}~.
\end{equation}
此时 $v$ 是一个关于 $r$ 单调递减或单调递增的函数。在离开地球的过程中，$v>0$，
式 21 取正号，因此这个过程中 $v$ 是递减函数。
如果我们希望火箭摆脱地球引力，再也不回来，那么在离开地球的过程中 $v$ 应该恒大于 $0$。由于 $1/r$ 可以任意小，我们要求的条件就变为
\begin{equation}
v_0^2-\frac{2GM}{R}\geq 0~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
v_0\geq\sqrt{\frac{2GM}{R}}~.
\end{equation}
这里的 $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 就是火箭彻底摆脱地球引力的最小初速度，被称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度。
查阅资料后代入 $G=6.67\times10^{-11} \operatorname {N}\cdot \operatorname {m}^2/ \operatorname {kg}^2$，$M=5.965\times10^{24} \operatorname {kg}$ 和 $R=6.371\times10^{6}m$，计算出第二宇宙速度的数值为
\begin{equation}
\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11.176 \operatorname {km}/ \operatorname {s}~.
\end{equation}
通常只取到 $11.2 \operatorname {km}/ \operatorname {s}$。