正规扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 纯不可分扩张

   定理 4 揭示了有限扩张情况下,分裂域和正规扩张的等价性,但并没有说到一般情况.本节的焦点集中在正规扩张本身上,讨论一般情况.

定义 1 共轭

   设 $\mathbb{F}$ 是一个域,$\overline{\mathbb{F}}$ 是其代数闭包.

   对于 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$,其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元素(conjugate)定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像.

   对于 $\mathbb{F}$ 的代数扩张 $\mathbb{K}$,其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域(conjugate)定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像.

   显然,无论对元素还是域,共轭都是一种等价关系.由于共轭元素和共轭域的定义都依赖同一个自同构,因此,两个共轭域中的元素彼此对应共轭.

   类比定理 3 的证明思路,可知两元素共轭的充要条件是,它们是同一个不可约多项式的根.

   我们也可以用共轭的语言来描述正规扩张:

定理 1 

   一个代数扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规的,当且仅当 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭只有它自己,当且仅当任意 $a\in\mathbb{K}$ 的共轭元素仍然在 $\mathbb{K}$ 中.

1. 正规扩张的性质

   现在我们讨论的是,给定域上正规扩张集合的结构.

定理 2 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,且存在中间域 $\mathbb{M}$,则 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是正规扩张.

   证明

   由于 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{M}$,故 $\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{M}$ 自同构一定是保 $\mathbb{F}$ 的,故 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{M}$ 的共轭必是关于 $\mathbb{F}$ 的共轭.由定理 1 则得证.

   证毕

定义 2 合成

   设 $\mathbb{F}_i$ 是 $\mathbb{K}$ 的一族子域,则记 $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 为包含全体 $\mathbb{F}_i$ 的最小的子域,称为族 $\{\mathbb{F}_i\}$ 的合成(composite 或 compositum)

   $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 也可以记为 $\mathbb{F}_1\mathbb{F}_2\cdots$.

   合成也可以看成是一种扩域,$\mathbb{K}\mathbb{F}=\mathbb{K}(\mathbb{F})=\mathbb{F}(\mathbb{K})$.

定理 3 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,子域 $\mathbb{E}\subseteq\overline{\mathbb{F}}$.如果合成域 $\mathbb{EK}$ 存在,那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张.

   证明

   取 $f\in\mathbb{F}[x]\subseteq\mathbb{EF}[x]$,使得 $\mathbb{K}$ 是 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域,那么 $\mathbb{EK}$ 是 $f\in\mathbb{EF}[x]$ 的分裂域.

   证毕

定理 4 

   设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张,则 $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2/\mathbb{F}$ 是正规扩张.

   证明

   设 $\mathbb{K}_i$ 是 $f_i\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域,那么 $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$ 是 $f_1f_2\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.

   证毕

定理 5 

   设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张,则 $\bigcap_{i}\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张.

   证明

   正规扩张的定义:任取 $f\in\mathbb{F}[x]$,若其有一根在 $\mathbb{K}_i$ 中,则其所有根都在 $\mathbb{K}_i$ 中.由定义直接得证.

   证毕

   考虑到共轭的定义及其性质,即定理 1 ,我们可以得到下面这个性质:

定理 6 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个代数扩域.$\mathbb{F}$ 的全体包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张之交集,是 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成

   证明

   由于正规扩张包含所有的根,共轭域之间的元素也对应共轭,且共轭元素是同一个不可约多项式的根,故 $\mathbb{F}$ 的每一个包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张,都包含 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域.

   下证全体共轭域的合成是正规扩张.

   $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成记为 $\mathbb{H}$.设 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域的并集为 $S$,则 $\mathbb{H}=\mathbb{F}(S)$.

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{H}$ 自同构 $\sigma$,则由共轭域的定义,$\sigma(S)=S$.于是 $\sigma(\mathbb{F}(S))=\sigma(\mathbb{F})(\sigma(S))=\mathbb{F}(\sigma(S))=\mathbb{F}(S)$.即,$\sigma(\mathbb{H})=\mathbb{H}$.

   由定理 1 即得证.

   证毕

定理 7 

   域 $\mathbb{F}$ 的有限扩张,总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个有限正规扩张里;$\mathbb{F}$ 的可分扩张,总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个可分正规扩张里.

   证明

   先证明有限扩张的情况:

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张,那么作为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,$\mathbb{K}$ 的基只有有限多个元素.$\mathbb{K}$ 的任何保 $\mathbb{F}$ 自同构,由于是同构,因此只取决于基向量映射到哪里.由于有限扩张必是代数扩张,故每个基向量都是代数元素,故每个基向量的共轭元素是有限多的.综上,$\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域只能是有限多个.

   据定理 6 ,取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成.由于每个共轭域在 $\mathbb{F}$ 都是有限维线性空间,则其合成也是有限维的1

   再证明可分扩张的情况:

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张,取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成,记为 $\mathbb{L}$.由可分扩张的传递性推论 3 ,可知 $\mathbb{L}$ 上的任意元素都是可分元素,进而是可分扩张.

   证毕

   把定理 7 的两个情况组合起来,也能得到自然推论:有限可分扩张总包含在有限可分正规扩张里.

2. 纯不可分扩张

   留意定理 8 ,纯不可分元素与其在域自同构下的像的数目息息相关.和正规扩张结合起来,这一性质可以延伸出下列性质:

定理 8 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,记

\begin{equation} \mathbb{S}=\{\alpha\in\mathbb{K}\mid \sigma\alpha = \alpha, \sigma\text{是域}\overline{\mathbb{F}}\text{的任意保}\mathbb{F}\text{自同构}\} \end{equation}
则 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张,$\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张.

   证明

   首先要证明 $\mathbb{S}$ 确实是一个域2:任取 $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{S}$,则有 $\sigma(\alpha\beta+\gamma)=\sigma(\alpha)\sigma(\beta)+\sigma(\gamma)=\alpha\beta+\gamma$,所以 $\mathbb{S}$ 的元素之间相加、相乘是封闭的;由于 $\sigma(\alpha^{-1})=(\sigma(\alpha))^{-1}=\alpha^{-1}$ 和 $\sigma(-\alpha)=-(\sigma(\alpha))/=-\alpha/$,所以取逆运算也封闭.

   然后,据定理 8 直接可得 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张.

   接下来证明 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张,只考虑 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}$ 是素数 $p$ 的情况,因为特征为 $0$ 的域必是完美域3

   任取 $\alpha\in\mathbb{K}$.取 $\mathbb{F}(\alpha)$ 的全体保 $\mathbb{F}$ 单同态 $\varphi_1, \cdots, \varphi_n:\mathbb{F}\to\overline{\mathbb{F}}$,互不相同,其中 $\varphi_1$ 是恒等映射.由定理 6 ,可将每个 $\varphi_i$ 开拓为 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\phi_i$.

   由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,而域同态总是把多项式的根映射为另一根,故 $\varphi_i\mathbb{K}\subseteq\mathbb{K}$.因为 $\mathbb{F}(\alpha)$ 是由 $\alpha$ 生成的,可知不同的 $\varphi_i$ 将 $\alpha$ 映入不同的 $\varphi_i\alpha$,并且因为 $\{\varphi_i\}$ 便历所有可能性,$\{\varphi_i\alpha\}$ 就是 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合.

   构造 $\mathbb{K}[x]$ 上的多项式:

\begin{equation} f(x) = (x-\varphi_1\alpha)(x-\varphi_2\alpha)\cdots(x-\varphi_n\alpha) \end{equation}
则由于已设定 $\varphi_1$ 是恒等映射,可知 $f(\alpha)=0$;由于各 $\varphi_i\alpha$ 互不相同,可知 $f$ 是可分多项式4

   下证 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上.

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\sigma$,则 $\sigma\mid_{\{\varphi_i\alpha\}}$ 是一个 $\{\varphi_i\alpha\}$($ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合)上的置换.于是有

\begin{equation} \begin{aligned} \sigma(\prod_i \varphi_i\alpha) &= \prod_i \varphi_i\alpha\\ \sigma(\sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}) &= \sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}\\ \sigma(\sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}) &= \sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}\\ &\vdots\\ \sigma(\sum_i\varphi_i\alpha) &= \sum_i\varphi_i\alpha\\ \sigma(1) &= 1 \end{aligned} \end{equation}
式中第 $k$ 行左边的括号里和右边是 $f(x)$ 的第 $k-1$ 次项系数.

   由式 3 ,$f$ 的每一项系数都满足式 1 ,故 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上.

   故 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{S})\mid f$,因此也是可分的.

   故 $\alpha$ 是 $\mathbb{S}$ 上的可分元素.由 $\alpha$ 的任意性,得证 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张.

   证毕

   注意定理 8 定理 1 的描述,恰好是对偶的:后者是先进行可分扩张再进行纯不可分扩张,前者则反了过来.


1. ^ 各共轭域取一基向量求积,所得的集合即是合成域的基.因此,如果每个共轭域的维数是 $n$,一共 $k$ 个共轭域,则其合成的维数不超过 $n^k$.
2. ^ 非常显然,建议能自己想就跳过本段说明.
3. ^可分扩张
4. ^ 注意,这里没法证明 $f= \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$,因为无法保证 $f\in\mathbb{F}[x]$.最多只能确定 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})=f^k$,其中 $k$ 是正整数.换句话说,没法证明 $f$ 的系数都在 $\mathbb{F}$ 上.

                     

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