贡献者： JierPeter
本文是专门用来证明下述定理 1 的，其自然语言的描述即是本文的标题。本文部分节选自《代数学基础》。
考虑 Artin 本原性定理（定理 2 ），以及可分扩张的定义（所有元素都是可分元），我们还可以得到上述定理 1 的等价描述：
本节我们就要证明定理 2 。
该证明的思路取自 University of Connecticut 的 Keith Conrad 教授的讲义，但细节思路会有不同。这是因为本部分有自己的逻辑体系，会大量引用小时百科中的内容来完成证明。
注意，单同态就是定义域和象的同构。
取 $a\in\mathbb{L}-\mathbb{K}$，$a$ 在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $f$。则 $f(x)\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{K}(a)\subseteq\mathbb{L}$。考虑定理 3 ，可知 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)$ 到 $\mathbb{F}$ 的同态后，同态象最多只有一种可能。也就是说，$\mathbb{F}$ 中最多只有一个子域同构于 $\mathbb{K}(a)$。
于是，如果 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 的同态存在，那么每个不同的开拓都对应一个 $\mathbb{K}(a)$（或者 $\sigma(\mathbb{K}(a))$）到自身的保 $\mathbb{K}$（或者保 $\sigma(\mathbb{K})$）自同构。
又据定理 5 ，可知由 $\sigma$ 开拓而来的域同态 $\sigma:\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 最多只有 $[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]= \operatorname {deg}f$ 个。
上述讨论说明，定理对单扩张情况成立。再考虑定理 4 和中间域升链推论 3 ，则得证。
由于 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张，故存在 $a\in\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{K}$ 的不可分元素。再据中间域升链推论 3 ，可构造 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域升链，其中 $\mathbb{K}$ 邻近的单扩张就是 $\mathbb{K}(a)$。
不可分多项式的根的数目，小于其次数。但是据定理 2 ，$[\mathbb{K}_2:\mathbb{K}_1]$ 正等于其次数。因此 $\sigma$ 在一步步开拓的过程中，在第一步 $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$ 这里，开拓出的同态数目就要小于扩张次数。
由此得证。
同上一条的证明，可知 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域中，任意相邻两个域之间都是单可分扩域的关系。
也就是说，每一步扩张都是一个无重根的不可约多项式的分裂域，因此据定理 5 ，每一步中 $\sigma$ 的开拓的数目都恰为扩张的次数。
除了一种情况：那就是某一步分裂域扩域无法映射入 $\mathbb{F}$，那就在 $\mathbb{F}$ 上取这个分裂域的多项式在 $\mathbb{F}$ 上的映射的分裂域，即可1。这也是为什么定理中会说存在一个扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$。
注意，引理 1 的证明中，只出现了 “可分单扩张” 和 “不可分单扩张”，但没有说不可分单扩张所用的元素是不是可分元素（即下面证明要讨论的），所以没有构成循环论证。
$\Rightarrow$：
由可分扩张的定义，显然。
$\Leftarrow$：
设 $a$ 是域 $\mathbb{K}$ 的可分代数元，其在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $ \operatorname {irr}(a, \mathbb{K})=f(x)\in\mathbb{K}[x]$。设 $ \operatorname {deg}f=n$，$f\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{L}$。
按可分的定义，知 $f$ 是可分多项式，在 $\mathbb{L}$ 上有 $n$ 个根。据定理 2 ，可知 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$。
取 $\mathbb{L}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{L}$ 和 $\mathbb{F}$、$\mathbb{K}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{K}$，且 $\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$。
据定理 5 ，$\mathbb{L}$ 到自身的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个。也就是说，$\sigma$ 开拓而来的单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量等于$n$。
这违反了引理 1 的第 $2$ 条。因此，$\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 必是可分扩张。
这样一来，只要有办法判断一个元素是否可分，就能判断其单扩张是否可分了。进一步，任何有限扩张都可以拆分成若干次单扩张的结果，于是也能讨论任何有限扩张的情形了。当然，这是目前的猜测，真实情况的性质更好，看下去就知道了。
证明：
取 $\mathbb{F}=\mathbb{F}'=\mathbb{L}$，$\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$，套用引理 1 第 $3$ 条即可。
证毕。
证明：
必要性：
令 $f(x)=x^p-\alpha^p$，显然 $f(\alpha)=0$，故 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F}(\alpha))\mid f$。
又因为域特征为 $p$，
充分性：
记 $m= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$。反设 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上不可分，即存在 $\mathbb{F}$ 上可分的不可约多项式 $h$ 和正整数$k$，使得 $m(x)=h \left(x^{p^k} \right) $。
令 $g(x)=h \left(x^{p^{k-1}} \right) $，则
故 $ \operatorname {deg} \operatorname {Irr}(\alpha^p, \mathbb{F})\leq \operatorname {deg}g< \operatorname {deg}m$。由单扩张的次数定理（定理 2 ）即可知 $[\mathbb{F}(\alpha^p):\mathbb{F}]<[\mathbb{F}(\alpha):\mathbb{F}]$，从而 $\mathbb{F}(\alpha^p))\subsetneq\mathbb{F}(\alpha)$。
证毕。
证明：
不妨设 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}=p$。
因为 $b$ 在 $\mathbb{F}(a)$ 上可分，故由引理 2 知，
记 $f= \operatorname {Irr}(a, \mathbb{F}(b))$，$g= \operatorname {Irr}(a, \mathbb{F}(b^p))$，则由于 $\mathbb{F}(b^p)\subseteq\mathbb{F}(b)$，可知 $f\mid g$。
由于域特征为 $p$，$f(x)^p\in\mathbb{F}(b^p)[x]$，且显然是 $a$ 的零化多项式，因此 $g\mid f^p$。又因为 $a$ 在 $\mathbb{F}$ 上可分 $\implies$ 在 $\mathbb{F}(b^p)$ 上可分，故得 $g\mid f$。
综上，$f=g$。
由单扩张的次数定理（定理 2 ）可知
即 $\mathbb{F}(b)=\mathbb{F}(b^p)$。由引理 2 可知 $b$ 是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素。
证毕。
证明：
证毕。
证明：
利用可分扩张的传递性推论 2 和本节的核心定理 2 即得证。
证毕。
推论 4 由推论 3 直接可得。由该推论还可知，一个域的全体可分元素构成一个域，称为其可分闭包（separable closure）；$\mathbb{F}$ 的可分闭包与 $\mathbb{K}$ 的交集，称为 $\mathbb{F}$ 在 $\mathbb{K}$ 上的可分闭包。
1. ^ 这么说很绕口。但如果采用 “同构就是同一个” 和 “单同态就是定义域和象的同构” 的理解，就会直白得多。
2. ^ 特征为 $0$ 的域都是完美域，故无须讨论。