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①证明：薛定谔方程中如果 $V(x)$ 是偶函数，即 $V(-x)=V(x)$，那么波函数 $\psi(x)$ 总 可以取作偶函数或奇函数。
②经典物理中一个矢量 $\vec r$ 与自身的矢量积(叉乘)恒为零 $\vec r \times \vec r\equiv 0$ ，对于量子力学 中矢量算符这一结论仍然普遍成立吗？试举例说明。
如果算符 $\hat{P}$ 满足等幂性，即 $\hat{P}^2 = \hat{P}$，那么我们称为 $\hat{P}$ 投影算符，试证明两 投影算符 $\hat{P}_1$、$\hat{P}_1$ 之和 $\hat{P}_1+\hat{P}_2$ 也为为投影算符的重要条件为这两个投影算符对易 $[\hat{P}_1,\hat{P}_2=0]$。(20 分)
质量为 $m$ 的粒子在一维无限深方势阱 $ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \\\\ \infty, & \text{others} \end{cases} $ 中运动，
1. 若已知 $ t = 0$ 时，该粒子状态为 $\psi(x,0) = \sqrt{\frac{1}{a}}(1 + \cos \frac{\pi x}{a})\sin \frac{\pi x}{a}$，求 $t > 0 $ 时刻该粒子的波函数；
2. 求 $ t > 0 $ 时刻测量到粒子的能量为 $\frac{n^2 \hbar^2}{2 m a^2}$ 的几率是多少？
3. 求 $t > 0 $ 时刻粒子的平均能量 $\bar{E}$ 和平均位置 $\bar{x}$。
（30 分）
质量为 $m$、电荷为 $q$ 的粒子在三维各向同性谐振子势 $$V(r) = m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2)/2~$$ 中运动，同时受到一个沿 $x$ 方向的均匀电场 $E = E_0 x i$ 作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。(30 分)
设氢原子处于状态
1. 求轨道角动量 $\hat{L}_z$ 分量 $L_z$ 和自旋角动量 $\hat{\sigma}_z$ 分量 $\sigma_z$ 的平均值；
2. 求总磁矩 $\hat{\vec M} = -\frac{e}{2\mu} \hat{\vec L} - \frac{e}{\mu} \hat{\vec S}$ 的 $z$ 分量的平均值。（20 分）
一个二能级系统，哈密顿量为 $\hat{H}$，能级大小间隔为 $E_0$。现在此系统受到一个微扰 $\hat{H}'$。在 $\hat{H}$ 表象中，$\hat{H}'$ 的表示为 $\hat{H}'=\hat\lambda(\sigma_x + \sigma_y)$，其中 $\sigma_x,\sigma_y$ 是泡利矩阵，$\lambda$ 为实数。请算出系统受微扰后的能级间隔（精确到二级微扰修正）。(30 分)