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①写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。
②证明：定态波函数 $\psi(x)$ 总可以取作实数的。
③能量本征态有可能是角动量 $\hat{L}^2$ 的本征态吗？有可能是 $\hat{L}_z$ 的本征态吗？请回答为什么 并举例说明。
在一维无限深势阱中，一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成：$\psi(x,0)=A[\psi_1 (x) +\psi_2 (x)]$。为了简化计算可令 $\omega=\pi^2\hbar/2ma^2$
①归一化 $\psi(x,0)$，并求 $\psi(x,t)$ 和 $|\psi(x,t)|^2$，把后者用时间的正弦函数展开。
②计算〈$x$〉、〈$p$〉的值。它们是随时间振荡的，角频率是多少？振幅是多少？
③测量粒子的能量，可能得到什么值？得到各个值的几率是多少？求出 $\hat{H}$ 的期望值。并 与 $E_1$ 和 $E_2$ 比较。(本题 20 分)
质量为 $m$ 的粒子在一维线性谐振子势：$V(x)=m\omega^2x^2/2$ 中运动。在占有数表示中哈密顿量可写为 $\hat{H} = \left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$，这里 $$\hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x} - \frac{i}{m\omega} \hat{p} \right), \quad \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x} + \frac{i}{m\omega} \hat{p} \right)~$$分别为升、降算符。已知谐振子基态波函数为： $$\psi_0(x) = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi \hbar}} e^{-\frac{m\omega x^2}{2 \hbar}}~$$ ① 利用升算符性质：$a^{\dagger} \psi_n(x) = \sqrt{n+1} \psi_{n+1}(x)$，求谐振子第一激发态的波函数；
② 假设粒子处在基态 $( \psi_0(x) )$，突然改变谐振子的 “振动频率” 为 $( \omega' = 2\omega )$，粒子新的基态能量是多少？新的基态波函数是什么？
③ 假设这时粒子波函数仍然保持 $( \psi_0(x) )$ 不变，此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？（本题 25 分）
在 $t = 0 $ 时，氢原子的波函数 $\Psi(r, 0)$ 为：$$\Psi(r, 0) = \frac{1}{\sqrt{10}} \left[ 2\psi_{100} + \psi_{210} + \sqrt{2}\psi_{211} + \sqrt{3}\psi_{21-1} \right]~$$ 式中波函数的下标分别为量子数 $ n, l, m $ 的值，忽略自旋和辐射跃迁。
① 写出在 t 时刻的波函数；
② 在 $ t = 0$ 时振子能量的平均值是多少？$t = 1$ 秒时呢？（本题 20 分）
电子静止在一振荡磁场 $\vec{B} = B_0 \cos\left(\omega t\right) {\vec{k}}$ 中，其哈密顿量写作 $\hat{H} = - \gamma \vec{B} \cdot \hat{\vec S}$，其中 $\mathbf{S}$ 为自旋角动量，$\gamma$（旋磁比），$B_0$（磁场振幅）和 $\omega$（振荡圆频率）为三个常数。
1. 构造这个体系的哈密顿矩阵。
2. 电子的初始态 $t = 0$ 时为处于 $x$ 轴方向向上的自旋态，即：$\chi (t) = \chi_{0}^{(+)}$。确定以后的任意时刻的 $\chi (t)$。
3. 如果测量 $S_x$，求出得到 $- \hbar / 2$ 的几率。
4. 迫使 $S_z$ 完全翻转所需要的最小磁场 $B_0$ 是多大？（本题 20 分）
粒子在二维无限深方势阱中运动，$ V = \begin{cases} 0, & 0 < x, y < a \\\\ \infty, & \text{其他}\end{cases} $。加上微扰 $ H' = \lambda xy $。求基态、第一激发态能级的一级微扰论修正。(本题 20 分)