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① 如果波函数 $\psi$ 不是力学量 $F$ 的本征态，那么在态 $\psi$ 中测量 $F$ 会发生什么情况？
② 什么是定态？它有何特性？
$\hat{\vec A} = (A_x, A_y, A_z), \hat{\vec B} = (B_x, B_y, B_z)$ 是与泡利算符 $\hat{\sigma} = (\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y, \hat{\sigma}_z)$ 对易的任意矢量算符，证明： $\hat{\vec A} \cdot \hat{\sigma}(\hat{\vec B} \cdot \hat{\sigma}) = \hat{\vec A} \cdot \hat{\vec B} + i \hat{\sigma} \cdot (\hat{\vec A} \times \hat{\vec B})$。(本题 30 分)
质量为 $m$ 的一维体系哈密顿量为 $H = p^2 /2m+V(x)$，其中 $V(x)= V_0 x^{2n}$，$V_0 > 0$ 是常数、$n$ 为自然数。设 $\psi_n(x)$ 为 $H$ 的本征函数：
① 证明动量算符在 $\psi_n(x)$) 态中的平均值为零；
② 求在态 $\psi_n(x)$ 中动能平均值和势能平均值之间的关系。(本题 30 分，每小题 15 分)
二维谐振子哈密顿量为 $H_0 = \frac{1}{2m} \left( p_x^2 + p_y^2 \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 \left( x^2 + y^2 \right)$，其中 $m$ 为质量，$\omega$ 为圆频 率。现该谐振子受到一外势 $V(x,y)=\lambda m\omega^2xy$ 作用，其中 $0<\lambda \ll 1$ 是无量纲的常数，试 求解该体系的基态能量与波函数。(若采用微扰论求解，能量、波函数分别要求精确到 二级、一级微扰。) (本题 30 分)
在 $t=0$ 时，氢原子的波函数 $\Psi(\mathbf{r}, 0) = \frac{1}{\sqrt{10}} \left[ 2\psi_{100} + \psi_{210} + \sqrt{2}\psi_{211} + \sqrt{3}\psi_{21-1} \right]$ 式中波函数的下标分别为量子数 $n,l,m$ 的值，忽略自旋和辐射跃迁。(本题 30 分，每小题 15 分)
① 该体系的能量期待值是多少？
② 在 $t$ 时刻体系处在 $l=1,m = 1$ 态的几率是多少？