多元隐函数的存在定理

                     

贡献者： 零穹

预备知识　一元隐函数的存在及可微定理

定理 1　n 元隐函数存在定理

　　 若：

  1. 函数 $F(x_1,\cdots,x_n,y)$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 为中心的 $n+1$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_0-\Delta',y_0+\Delta']~ \end{equation}
    中有定义且连续；
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中偏导数 $F_{x_1}',\cdots,F_{x_n}',F_y'$ 存在且连续；
  3. $F(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)=0$；
  4. $F'_y(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)\neq 0$

　　 那么，在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 的某一邻域内：

  1. 方程 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数：$y=f(x_1,\cdots,x_n)$；
  2. $f(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_0$；
  3. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 关于其所有的变元连续，且
  4. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 有连续偏导数 $f_{x_1}',\cdots,f_{x_n}'$

定理 2　最一般的隐函数存在定理

　　 若：

  1. 函数 $F_1,\cdots,F_m$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 为中心的 $n+m$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_1^0-\Delta_1',y_1^0+\Delta_1';\cdots;y_m^0-\Delta_m',y_m^0+\Delta_m']~ \end{equation}
    中有定义且连续；
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中这些函数关于一切变元的偏导数存在且连续；
  3. 在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 处这些函数值都为 0：
    \begin{equation} F_1(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0,\cdots,F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0~. \end{equation}
  4. 雅可比行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0：
    \begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} (x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0) \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}\neq0~. \end{equation}

　　 那么，在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 的某一邻域内：

  1. 方程组
    \begin{equation} F_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0,\cdots,F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0~ \end{equation}
    确定 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数：
    \begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n)~. \end{equation}
  2. $f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_m^0$；
  3. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 连续，且
  4. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 有关于一切变元的连续偏导数。

1. 证明

　　 定理 1 的证明和一元隐函数的完全类似。我们只证明定理 2 。证明采用数学归纳法。

　　 当 $m=1$ 时，即是定理 1 的情形，此时定理成立。

　　 假设 $m-1$ 时定理成立，现在证明对 $m$ 时定理也成立。

　　 由于雅可比行列式在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0，那么，最后一行内至少有一个元素在这点不为 0；例如设

\begin{equation} \frac{\partial F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}{\partial y_m} \neq0~, \end{equation}
此时，按定理 1 ，方程
\begin{equation} F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0~ \end{equation}
在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0$ 的某一邻域 $\mathcal{D}^*$ 内，确定 $y_m$ 为其余变元的单值函数：
\begin{equation} y_m=\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})~, \end{equation}
这函数 $\phi$ 是连续的，且有连续偏导数；此外
\begin{equation} \phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0~. \end{equation}

　　 由于下面我们讨论的邻域以 $\mathcal{D}^*$ 为限，式 8 和式 9 是等价的。

　　 用式 9 代替式 5 中最后一方程，并把函数 $\phi$ 代入式 5 中其余方程，得到具有 $n+m-1$ 个变元的 $m-1$ 个方程的新方程组

\begin{equation} \varphi_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0,\cdots,\varphi_{m-1}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0~, \end{equation}
其中
\begin{equation}\varphi_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=F_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1},\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1}))~. \end{equation}

　　 在不越出 $\mathcal{D}^*$ 的邻域，方程组式 5 显然与方程组式 11 连同附加的方程式 9 等价。因此，若在邻域 $\mathcal{D}^*$ 内，$m-1$ 个变元 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数，则由式 9 ，变元 $y_m$ 也是单值函数，从而结论 1 成立。

　　 根据式 12 和 $F_j,\phi$ 的性质，函数组 $\varphi_1,\cdots,\varphi_{m-1}$ 满足于定理的条件 1,2,3。

　　 接下来证明

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_{m-1}} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)}\neq0~. \end{equation}
为此，考察雅可比行列式式 4 ，依次用 $ \frac{\partial \phi}{\partial y_1} , \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} $ 乘第 $m$ 列，然后加到前 $m-1$ 列去，即
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_{m-1}} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_{m}} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} ~, \end{equation}
若视 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$，则除最后一行及最后一列以外的一切元素都是函数 $\varphi_j$ 的偏导数。另一方面，若分别对 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 而微分恒等式式 8 ，于是最后一行除了最后一个外其它全为 0
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} &\frac{F_1}{y_m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} ~, \end{equation}
于是
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert \cdot \frac{\partial F_m}{\partial y_m} ~. \end{equation}
令 $x_1=x_1^0,\cdots,y_{m-1}=y_{m-1}^0$，则 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$ 变为 $y_m^0$。但由定理条件 4，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 不为 0，故式 13 成立。

　　 对于 $m-1$ 个方程组式 11 ，定理已假定正确。因此，这方程组在点 $(x_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)$ 邻域内确定 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $(x_1,\cdots,x_n)$ 的单值函数

\begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_{m-1}=f_{m-1}(x_1,\cdots,x_n)~, \end{equation}
它们是连续且有连续导数的。此外
\begin{equation} f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_{m-1}(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_{m-1}^0~, \end{equation}
由此推得，第 $m$ 个函数式 9 也是连续且有连续导数的，并且
\begin{equation} f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=\phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0~, \end{equation}
定理得证。

                     

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